En el cuadrilátero ABCD, ángulo A = ángulo B / 2 = ángulo C / 3 = ángulo D / 4. Halla los cuatro ángulos.

Step-by-step solution

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   Convierte la cadena de igualdades en un solo parámetro. Como las cuatro expresiones son iguales, dale un nombre a su valor común: sea $\widehat{A}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{3}=\frac{\widehat{D}}{4}=x.$ Ahora una sola incógnita controla los cuatro ángulos.

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   Expresa cada ángulo en función de x. Despejando en cada igualdad: $\widehat{A}=x,\quad \widehat{B}=2x,\quad \widehat{C}=3x,\quad \widehat{D}=4x.$ Así los ángulos están en la razón $1:2:3:4$ - observa que los denominadores del enunciado original se convierten en los multiplicadores.

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   Usa la suma de los ángulos de un cuadrilátero. Un cuadrilátero se descompone en dos triángulos, así que sus ángulos interiores suman $2\times180^\circ = 360^\circ$: $x+2x+3x+4x = 360^\circ.$

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   Despeja x. $10x = 360^\circ \quad\Longrightarrow\quad x = 36^\circ.$

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   Sustituye hacia atrás. $\widehat{A}=36^\circ,\quad \widehat{B}=72^\circ,\quad \widehat{C}=108^\circ,\quad \widehat{D}=144^\circ.$

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   Comprueba el total y la forma. $36+72+108+144 = 360$, como se pedía. Los cuatro ángulos son menores que $180^\circ$, así que ese cuadrilátero convexo existe de verdad; observa además que $\widehat{B}+\widehat{D} = 72+144 = 216^\circ \ne 180^\circ$, de modo que no es un cuadrilátero cíclico.