En el triángulo ABC, AB = AC. Se traza la altura BH perpendicular a AC en H, y la altura CK perpendicular a AB en K. Demuestra que BK = CH y que KH es paralela a BC.

Step-by-step solution

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   Ordenar lo que aporta la hipótesis. Como $AB=AC$, el triángulo $ABC$ es isósceles en $A$, así que los ángulos de la base son iguales: $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$. Las dos alturas crean los ángulos rectos $\widehat{BHA}=\widehat{BHC}=90^\circ$ y $\widehat{CKA}=\widehat{CKB}=90^\circ$. Toda la demostración se apoya en la simetría de la figura respecto del eje que pasa por $A$.

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   Demostrar que los dos triángulos rectángulos BKC y CHB son congruentes. Compara $\triangle BKC$ y $\triangle CHB$:

   • $\widehat{BKC}=\widehat{CHB}=90^\circ$ (las alturas),
   • $BC$ es una hipotenusa común,
   • $\widehat{KBC}=\widehat{HCB}$ (los ángulos iguales de la base del triángulo isósceles).

   Por el criterio de hipotenusa y ángulo agudo, $\triangle BKC\cong\triangle CHB$.

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   Leer la parte (a). Los catetos correspondientes de triángulos congruentes son iguales, y $BK$ en el primero se corresponde con $CH$ en el segundo:

   $BK=CH$

   Esta es la parte (a). Como subproducto, $CK=BH$ — las dos alturas trazadas sobre los lados iguales tienen la misma longitud.

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   Convertir la igualdad en una razón sobre los dos lados. Como $AB=AC$ y $BK=CH$, al restar queda $AK=AB-BK=AC-CH=AH$. Por lo tanto

   $\frac{AK}{AB}=\frac{AH}{AC}$

   siendo ambos miembros el mismo número. Esta es precisamente la proporción que necesita el recíproco del teorema de Tales.

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   Aplicar el recíproco de Tales para obtener la parte (b). Los puntos $K$ y $H$ están sobre los lados $AB$ y $AC$ del triángulo $ABC$ y los cortan en la misma razón, así que la recta $KH$ es paralela al tercer lado:

   $KH\parallel BC$

   De forma equivalente, $\triangle AKH\sim\triangle ABC$ por semejanza LAL (ángulo común en $A$, lados adyacentes proporcionales), lo que obliga a que los ángulos correspondientes cumplan $\widehat{AKH}=\widehat{ABC}$ y, por lo tanto, al paralelismo.

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   Verificar con coordenadas. Situando $B=(-b,0)$, $C=(b,0)$, $A=(0,h)$ se consigue $AB=AC$ de forma automática. Al calcular $H$ y $K$ como pies de las perpendiculares para seis pares aleatorios $(b,h)$ se obtiene $BK=CH$ todas las veces con un margen de $10^{-9}$, lo mismo $AK=AH$, y $K$ y $H$ comparten siempre la misma coordenada $y$ — así que $KH$ es horizontal, exactamente como $BC$ ✓.