Halla el volumen de un cono cuyo radio de la base es 2.2 metros y cuya sección axial tiene un ángulo de 60 grados en el vértice.

Step-by-step solution

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   Mira qué te aporta el ángulo del vértice. La fórmula del volumen $V = \tfrac13\pi r^2 h$ necesita una altura, que no viene dada. La sección axial es un triángulo isósceles con ángulo de $60^{\circ}$ en el vértice; el eje lo parte en dos triángulos rectángulos de semiángulo

   $\frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$

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   Relaciona radio y altura en ese triángulo rectángulo. El semiángulo está en el vértice, con el radio como cateto opuesto y la altura como cateto adyacente:

   $\tan 30^{\circ} = \frac{r}{h} \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{r}{\tan 30^{\circ}} = r\sqrt{3}$

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   Calcula la altura.

   $h = 2.2\sqrt{3} = 3.810512\ \text{m}$

   Fíjate en que el cono es más alto que ancho medido por el radio: un vértice de $60^{\circ}$ es bastante estrecho.

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   Aplica la fórmula del volumen.

   $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (2.2)^2 (3.810512) = \frac{1}{3}\pi (4.84)(3.810512)$

   $V = 19.3133\ \text{m}^3$

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   Da la forma exacta y contrasta el resultado. De forma exacta, $V = \tfrac13\pi r^3\sqrt3 = \tfrac{\sqrt3}{3}\pi (2.2)^3 = \tfrac{\sqrt3\,\pi}{3}(10.648) \approx 19.313\ \text{m}^3$. Como comprobación, el cilindro envolvente del mismo radio y la misma altura contiene $\pi r^2 h = 57.94\ \text{m}^3$, y el cono es la tercera parte de eso: $19.31\ \text{m}^3$.