Dos hojas cuadradas congruentes tienen cada una una diagonal de 20 cm. Se traslapan en una región cuadrada. Si el área total cubierta es 384 cm², halla el lado del solape.

Step-by-step solution

1. 1

   Convierte la diagonal en área. Usando $A=\tfrac{d^2}{2}$ para un cuadrado de diagonal $d$:

   $A=\frac{20^2}{2}=\frac{400}{2}=200\ \text{cm}^2$

   (La fórmula sale de que la diagonal parte el cuadrado en dos triángulos rectángulos isósceles cuyos catetos miden lo mismo que el lado.)

2. 2

   Suma las dos hojas.

   $200+200=400\ \text{cm}^2$

3. 3

   Resta el área cubierta para hallar la parte contada dos veces.

   $|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|=400-384=16\ \text{cm}^2$

4. 4

   Saca la raíz cuadrada, ya que el enunciado dice que el solape es un cuadrado.

   $s=\sqrt{16}=4\ \text{cm}$

5. 5

   Revisa que las proporciones tengan sentido. Cada hoja tiene lado $\tfrac{20}{\sqrt2}\approx 14.1$ cm, así que un solape de $4$ cm es una intersección pequeña de esquina a esquina, coherente con que el área cubierta $384$ esté cerca del máximo $400$ $\checkmark$.