Un terreno de cuatro lados mide 15 m, 10.2 m, 4.5 m y 15.3 m. ¿Se puede hallar su área solo con las longitudes de los lados?

Step-by-step solution

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   Los cuatro lados no bastan. A diferencia del triángulo, un cuadrilátero no es rígido: se puede articular en los vértices y deformarlo. Las mismas cuatro longitudes de lado encierran infinitas figuras distintas con áreas distintas, así que ninguna fórmula puede devolver una única respuesta a partir de los lados solos.

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   Identifica qué medida adicional lo resolvería. Cualquiera de estas fija la figura: una diagonal, un ángulo interior, la altura, o saber que la figura es de un tipo concreto (trapecio, paralelogramo, cíclico).

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   Con una diagonal, divide en dos triángulos. Traza la diagonal $d$ entre los vértices de los lados $15$ y $4.5$. Eso da un triángulo de lados $15$, $10.2$, $d$ y otro de lados $4.5$, $15.3$, $d$.

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   Aplica la fórmula de Herón a cada uno. Para un triángulo de lados $a, b, c$ y semiperímetro $s = \tfrac{a+b+c}{2}$,

   $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

   Entonces el área del cuadrilátero es $A = A_1 + A_2$.

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   Un caso especial que conviene conocer. Si el cuadrilátero es cíclico (los cuatro vértices sobre una misma circunferencia), entonces los lados sí determinan el área, mediante la fórmula de Brahmagupta:

   $A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

   Esa es el área máxima que se puede alcanzar con esos cuatro lados.