En el cuadrilátero MNPQ, el ángulo N = ángulo M + 10 grados, el ángulo P = ángulo N + 10 grados y el ángulo Q = ángulo P + 10 grados. Halla los cuatro ángulos.

Step-by-step solution

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   Expresa todos los ángulos en función de una sola incógnita. Sea $\widehat{M}=x$. Encadenando las tres condiciones,

   $\widehat{N}=x+10^{\circ},\qquad \widehat{P}=(x+10^{\circ})+10^{\circ}=x+20^{\circ},\qquad \widehat{Q}=x+30^{\circ}$

   Cada condición se refiere al ángulo anterior, así que los incrementos se acumulan en vez de quedarse en $10^{\circ}$.

2. 2

   Usa la suma de los ángulos de un cuadrilátero. Los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero suman $360^{\circ}$ (basta dividirlo en dos triángulos):

   $x+(x+10^{\circ})+(x+20^{\circ})+(x+30^{\circ})=360^{\circ}$

3. 3

   Resuelve la ecuación lineal.

   $4x+60^{\circ}=360^{\circ}\quad\Longrightarrow\quad 4x=300^{\circ}\quad\Longrightarrow\quad x=75^{\circ}$

4. 4

   Escribe los cuatro ángulos.

   $\widehat{M}=75^{\circ},\quad \widehat{N}=85^{\circ},\quad \widehat{P}=95^{\circ},\quad \widehat{Q}=105^{\circ}$

   $\boxed{75^{\circ},\ 85^{\circ},\ 95^{\circ},\ 105^{\circ}}$

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   Comprueba la suma y fíjate en el atajo. $75+85+95+105=360$ ✓. Como los cuatro ángulos forman una progresión aritmética, su media es $360\div 4=90^{\circ}$, que debe quedar justo a mitad de camino entre los dos centrales: en efecto, $\tfrac{85+95}{2}=90^{\circ}$. Eso abre una vía de una sola línea: los dos ángulos centrales son $90\mp 5$ y los dos exteriores, $90\mp 15$.

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   Confirma que la figura se puede dibujar. Los cuatro ángulos están estrictamente entre $0^{\circ}$ y $180^{\circ}$, así que el cuadrilátero es convexo y se puede trazar sin ningún vértice entrante.