¿Cuántos triángulos tienen lados a = 4, b = 7 y c = 11?

Step-by-step solution

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   Enuncia la desigualdad triangular con precisión. Tres longitudes positivas forman un triángulo exactamente cuando la suma de cada dos de ellas es estrictamente mayor que la tercera. En la práctica basta con una comprobación: los dos lados menores frente al mayor.

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   Identifica el lado mayor y haz la prueba. El mayor es $c=11$, y

   $4+7=11$

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   Interpreta el caso de igualdad. La suma es igual al tercer lado, no mayor que él. La igualdad significa que los tres segmentos quedan colocados uno tras otro exactamente sobre una recta: el «triángulo» se aplasta hasta ser un segmento de área cero y altura cero. Una figura degenerada así no cuenta como triángulo.

4. 4

   Concluye.

   $\boxed{0\ \text{triángulos}}$

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   Contrasta con un caso cercano. Cambiar $b$ de $7$ a $8$ da $4+8=12>11$, y las otras dos comprobaciones ($4+11>8$, $8+11>4$) también se cumplen, así que los lados $4,8,11$ sí determinan exactamente un triángulo — tres longitudes de lado fijas siempre dan como mucho un triángulo salvo congruencia. Por eso el recuento en esta familia de preguntas es siempre $0$ o $1$; un recuento de $2$ solo aparece en los problemas LLA (lado-lado-ángulo), no en los LLL.