Encuentra la distancia del punto (1, 4, −1) a la recta (0,0,0) + a·(3, 1, 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Plantea la fórmula del producto vectorial. Para una recta que pasa por un punto $Q$ con dirección $\mathbf d$, la distancia desde $P$ es

   $d=\frac{\left\|\overrightarrow{QP}\times\mathbf d\right\|}{\|\mathbf d\|}$

   Aquí $Q$ es el origen, así que $\overrightarrow{QP}=\mathbf p=(1,4,-1)$ y $\mathbf d=(3,1,2)$. Geométricamente el numerador es el área del paralelogramo generado por los dos vectores, y al dividir entre la base $\|\mathbf d\|$ queda la altura — que es exactamente la distancia.

2. 2

   Calcula el producto vectorial.

   $\mathbf p\times\mathbf d=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ 1&4&-1\\ 3&1&2\end{vmatrix}=\left(4\cdot 2-(-1)\cdot 1,\;(-1)\cdot 3-1\cdot 2,\;1\cdot 1-4\cdot 3\right)=(9,\,-5,\,-11)$

   La componente central arrastra el signo menos que trae incorporado el desarrollo del determinante, y ahí es donde se concentran los errores de signo.

3. 3

   Toma las dos longitudes.

   $\left\|\mathbf p\times\mathbf d\right\|=\sqrt{81+25+121}=\sqrt{227},\qquad \|\mathbf d\|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$

4. 4

   Divide para obtener la distancia.

   $d=\frac{\sqrt{227}}{\sqrt{14}}=\sqrt{\frac{227}{14}}\approx\sqrt{16.2143}\approx 4.0267$

5. 5

   Contrasta con el método de la proyección. El pie de la perpendicular está en el parámetro

   $a^{*}=\frac{\mathbf p\cdot\mathbf d}{\mathbf d\cdot\mathbf d}=\frac{3+4-2}{14}=\frac{5}{14}$

   lo que da el pie $\tfrac{5}{14}(3,1,2)=(1.0714,\,0.3571,\,0.7143)$. La distancia de $P$ a ese punto es $\sqrt{(1-1.0714)^2+(4-0.3571)^2+(-1-0.7143)^2}=4.0267\;\checkmark$ — el mismo valor por una vía independiente.