Halla el área de un trapecio cuyas diagonales miden 15 y 7 y cuya base media (mediana) mide 10.

Step-by-step solution

1. 1

   Traduce los datos a la fórmula estándar del área. Para un trapecio de lados paralelos $a$ y $b$ y altura $h$,

   $S=\frac{a+b}{2}\,h=m\,h$

   donde $m$ es la base media. Aquí $m=10$, así que $S=10h$ y $a+b=2m=20$. Todo depende ahora de la altura, que el problema nunca da de forma directa.

2. 2

   Desliza una diagonal lateralmente para reunir los datos en un solo triángulo. Traslada la diagonal $BD$ según el vector $\vec{DC}$ (es decir, en la dirección de los lados paralelos). Su extremo cae sobre la prolongación de la base mayor y se forma un triángulo cuyos tres lados son las dos diagonales, $15$ y $7$, y una base igual a $a+b=20$. Este es el movimiento clave: la traslación no cambia ni la longitud de la diagonal ni la altura de la figura.

3. 3

   Explica por qué ese triángulo tiene la misma área que el trapecio. El nuevo triángulo tiene base $a+b=20$ y la misma altura $h$ que el trapecio, así que su área es $\tfrac12(a+b)h=\tfrac{a+b}{2}h$: exactamente el área del trapecio. Por eso calcular el área del triángulo es calcular la del trapecio.

4. 4

   Aplica la fórmula de Herón al triángulo de lados 15, 7 y 20. Comprueba primero que existe: $15+7=22>20$. El semiperímetro es

   $s=\frac{15+7+20}{2}=21$

   y

   $S=\sqrt{21(21-15)(21-7)(21-20)}=\sqrt{21\cdot 6\cdot 14\cdot 1}=\sqrt{1764}=42$

5. 5

   Contrasta hallando la altura directamente. Proyecta las dos diagonales sobre la dirección de la base. Sus proyecciones horizontales $x$ y $20-x$ cumplen

   $15^2=x^2+h^2,\qquad 7^2=(20-x)^2+h^2$

   Restar elimina $h^2$:

   $225-49=x^2-(20-x)^2=40x-400\;\Longrightarrow\;40x=576\;\Longrightarrow\;x=14.4$

   Entonces $h^2=225-14.4^2=225-207.36=17.64$, así que $h=4.2$ y

   $S=10\cdot 4.2=42$

   Dos métodos independientes coinciden, así que el área es $42$.