Los rayos Mx y Ny son paralelos y el punto P está entre las dos rectas, con el ángulo xMP = 110 grados y el ángulo yNP = 140 grados. Hallar el ángulo MPN.

Step-by-step solution

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   Trazar por P una recta auxiliar paralela a las dos. Los dos ángulos dados están en vértices distintos, así que todavía no hay nada que los relacione. Al introducir un rayo $Pz$ por $P$ paralelo a $Mx$ (y por tanto a $Ny$), el ángulo $\angle MPN$ queda partido en dos piezas, cada una de las cuales se puede ligar a uno de los ángulos dados.

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   Usar los ángulos conjugados internos en M. $Mx\parallel Pz$ con $MP$ como transversal, así que $\angle xMP$ y $\angle MPz$ son conjugados internos y suman $180^{\circ}$:

   $\angle MPz=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$

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   Usar los ángulos conjugados internos en N. De igual modo, $Ny\parallel Pz$ con $NP$ como transversal:

   $\angle NPz=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}$

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   Sumar las dos piezas. Como $Pz$ queda dentro de $\angle MPN$ (eso es lo que garantiza que «$P$ está entre las dos rectas»),

   $\angle MPN=\angle MPz+\angle NPz=70^{\circ}+40^{\circ}=110^{\circ}$

   $\boxed{110^{\circ}}$

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   Observar el atajo y cuándo es válido. El mismo cálculo se resume en una línea:

   $\angle MPN=360^{\circ}-110^{\circ}-140^{\circ}=110^{\circ}$

   porque los tres ángulos $\angle xMP$, $\angle MPN$ y $\angle yNP$ se cierran alrededor de la recta auxiliar. Este atajo sirve siempre que el punto del zigzag esté realmente entre las dos paralelas; si quedara fuera de la franja, las dos piezas se restarían en lugar de sumarse.

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   Comprobar que el tamaño es razonable. Los dos ángulos dados son obtusos, así que cada uno aporta en $P$ una pieza aguda moderada ($70^{\circ}$ y $40^{\circ}$), y su suma $110^{\circ}$ es obtusa pero menor que $180^{\circ}$: coherente con que $P$ esté estrictamente entre las rectas.