En una pirámide cuadrangular regular T.ABCD, P es el punto medio de AD y Q es el punto medio de AB. Por PQ se traza un plano paralelo a la arista TA. Halla la razón de los volúmenes de las dos partes en que este plano corta la pirámide.

Step-by-step solution

1. 1

   Fija un sistema de coordenadas. Toma $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ y el vértice $T\left(\tfrac12,\tfrac12,1\right)$; la razón de volúmenes no depende de la arista de la base ni de la altura, así que basta con una pirámide unitaria de volumen $\tfrac13$. Entonces $P\left(0,\tfrac12,0\right)$ y $Q\left(\tfrac12,0,0\right)$.

2. 2

   Construye el plano a partir de las dos condiciones. Debe contener a $\vec{PQ}=\left(\tfrac12,-\tfrac12,0\right)$ y ser paralelo a $\vec{TA}=\left(-\tfrac12,-\tfrac12,-1\right)$. Su producto vectorial es proporcional a $(1,1,-1)$, de modo que el plano es $x+y-z=\tfrac12$. Comprobación: $\vec{TA}\cdot(1,1,-1)=-\tfrac12-\tfrac12+1=0$, así que el plano sí es paralelo a $TA$, y tanto $P$ como $Q$ satisfacen la ecuación.

3. 3

   Halla la sección. Sobre la base $z=0$ el plano corta al segmento $PQ$. Arista $TB$: el plano la corta en su punto medio $R$; arista $TD$: en su punto medio $S$; arista $TC$: en el punto $U$ con $TU:TC=\tfrac14$, es decir, $U\left(\tfrac58,\tfrac58,\tfrac34\right)$. La arista $TA$ es paralela al plano y nunca lo corta. La sección es el pentágono $Q\,R\,U\,S\,P$.

4. 4

   Decide qué vértices caen en cada parte. Con $f(x,y,z)=x+y-z$ se obtiene $f(A)=0$ y $f(T)=0$, ambos por debajo de $\tfrac12$, mientras que $f(B)=f(D)=1$ y $f(C)=2$ quedan por encima. Así pues, una parte contiene a la arista $TA$ y la otra contiene a $B$, $C$ y $D$.

5. 5

   Calcula la parte menor cortando por planos horizontales. A la altura $z$ la sección de la pirámide es el cuadrado $x,y\in\left[\tfrac z2,1-\tfrac z2\right]$ de lado $L=1-z$. El cambio $u=x-\tfrac z2$, $v=y-\tfrac z2$ convierte la condición $x+y<\tfrac12+z$ en $u+v<\tfrac12$, de modo que el área vale $\tfrac18$ mientras $L\ge\tfrac12$, luego $L^2-\tfrac12\left(2L-\tfrac12\right)^2$, y por último $L^2$ en cuanto $2L<\tfrac12$.

6. 6

   Integra los tres tramos. $\int_0^{1/2}\tfrac18\,dz=\tfrac1{16}$; $\int_{1/2}^{3/4}\left[(1-z)^2-\tfrac12(1.5-2z)^2\right]dz=\tfrac{5}{192}$; $\int_{3/4}^{1}(1-z)^2dz=\tfrac{1}{192}$. El total es $\tfrac{12}{192}+\tfrac{5}{192}+\tfrac{1}{192}=\tfrac{18}{192}=\tfrac{3}{32}$.

7. 7

   Forma la razón. La pirámide completa tiene volumen $\tfrac13=\tfrac{32}{96}$ y la parte menor vale $\tfrac{3}{32}=\tfrac{9}{96}$, así que la otra parte vale $\tfrac{23}{96}$ y la razón es $9:23$. Una comprobación de Monte Carlo con seis millones de muestras dio $0.09378$ frente al valor exacto $\tfrac{3}{32}=0.09375$.