Un parque urbano rectangular mide 30 m por 20 m. En cada esquina se traza un jardín en forma de cuarto de círculo de radio 7 m. Una cerca sigue el borde del área restante como pista para correr. ¿Cuánto mide la pista?

Step-by-step solution

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   Halla el perímetro antes de recortar las esquinas.

   $P = 2(30 + 20) = 100\ \text{m}$

   Esta es la respuesta a otra pregunta —el perímetro del parque completo— y es la opción A, la trampa para quien se detenga aquí.

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   Mira qué quita y qué añade cada esquina. Un cuarto de círculo de radio $7$ en una esquina se come $7\ \text{m}$ a lo largo de cada uno de los dos lados que allí concurren, así que elimina $7 + 7 = 14\ \text{m}$ de cerca recta. En su lugar aparece el arco de cuarto de circunferencia:

   $L_{\text{arco}} = \frac14 \cdot 2\pi r = \frac{2\pi(7)}{4} = 3.5\pi\ \text{m}$

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   Evalúa el arco. El convenio escolar para $r = 7$ usa $\pi = \tfrac{22}{7}$, lo que vuelve exacta la aritmética:

   $3.5\pi = 3.5 \times \frac{22}{7} = 11\ \text{m}$

   (Con el $\pi$ verdadero el arco mide $10.9956\ \text{m}$; la diferencia acabará siendo de menos de $2\ \text{cm}$ en la respuesta final.)

4. 4

   Calcula el saldo neto en una esquina y luego en las cuatro. Cada esquina pierde $14$ m y gana $11$ m: una pérdida neta de $3$ m. En cuatro esquinas:

   $4 \times 3 = 12\ \text{m perdidos}$

   Las esquinas caben porque $7 + 7 = 14 \le 20$, el lado más corto.

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   Calcula la longitud de la pista.

   $100 - 12 = 88\ \text{m}$

   así que la respuesta es la B.

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   Comprueba sumando las piezas directamente. Tramos rectos: $100 - 4(14) = 44\ \text{m}$. Cuatro arcos: $4 \times 11 = 44\ \text{m}$. Total, $88\ \text{m}$, que coincide. Usando el $\pi$ verdadero se obtiene en cambio $44 + 4(10.99557) = 87.982\ \text{m}$, que sigue redondeando a $88$, así que aquí la elección de $\pi$ no cambia la opción correcta.