Dos circunferencias concéntricas comparten el centro. La circunferencia exterior mide 132 pulgadas de longitud y la interior tiene radio 17.5 pulgadas. Halla el área del anillo entre ellas, tomando pi igual a 22/7.

Step-by-step solution

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   Halla el radio exterior a partir de la longitud de su circunferencia.

   $R=\frac{132}{2\pi}=\frac{132}{\frac{44}{7}}=132\cdot\frac{7}{44}=3\cdot 7=21\ \text{in}.$

   Con $\pi=\tfrac{22}{7}$ el $44$ divide a $132$ exactamente tres veces, así que no aparece ningún decimal.

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   Escribe el área del anillo como diferencia de dos áreas de círculo. El anillo (corona circular) es el disco grande al que se le ha quitado el pequeño:

   $A_{\text{anillo}}=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right).$

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   Factoriza la diferencia de cuadrados en lugar de elevar al cuadrado los dos radios.

   $R^{2}-r^{2}=(R-r)(R+r)=(21-17.5)(21+17.5)=3.5\times 38.5.$

   Así se evita calcular $441-306.25$ y los números se mantienen pequeños, que es justo el objetivo de la factorización.

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   Multiplica.

   $3.5\times 38.5=134.75,$

   así que

   $A_{\text{anillo}}=\frac{22}{7}\times 134.75.$

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   Termina con fracciones exactas. Escribir $3.5=\tfrac72$ hace que el $7$ se cancele:

   $A_{\text{anillo}}=\frac{22}{7}\cdot\frac{7}{2}\cdot 38.5=11\times 38.5=423.5\ \text{in}^2.$

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   Contrasta por la vía directa. $\pi R^2=\tfrac{22}{7}(441)=1386$ y $\pi r^2=\tfrac{22}{7}(306.25)=962.5$; su diferencia es $1386-962.5=423.5\ \text{in}^2$ ✓.