El punto A está a dos tercios del camino a lo largo del segmento que va de (1, 10) a (-8, 4). El punto B es el punto medio del segmento que une C(0, -7) y D(6, -11). Halla la distancia AB.

Step-by-step solution

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   Plantea la fórmula de la sección para A. Avanzar una fracción $t$ del camino de $P$ a $Q$ conduce a $P+t(Q-P)$. Aquí $t=\frac23$, $P=(1,10)$ y $Q=(-8,4)$, así que el desplazamiento es $Q-P=(-9,-6)$.

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   Calcula A. $A=(1,10)+\frac23(-9,-6)=(1-6,\ 10-4)=(-5,6)$. Las dos coordenadas salen enteras porque $-9$ y $-6$ son divisibles entre $3$.

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   Calcula B con la fórmula del punto medio. El punto medio promedia las coordenadas: $B=\left(\frac{0+6}{2},\frac{-7+(-11)}{2}\right)=(3,-9)$.

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   Aplica la fórmula de la distancia. $AB=\sqrt{(3-(-5))^2+(-9-6)^2}=\sqrt{8^2+(-15)^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$.

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   Simplifica el radical. $\sqrt{289}=17$, así que $AB=17$. Los catetos $8$ y $15$ con hipotenusa $17$ forman una terna pitagórica muy conocida, buena señal de que la aritmética está bien.

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   Comprueba que A de verdad está a dos tercios. La distancia de $(1,10)$ a $A(-5,6)$ es $\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\approx 7.211$, y el segmento completo de $(1,10)$ a $(-8,4)$ mide $\sqrt{81+36}=\sqrt{117}\approx 10.817$. La razón $7.211/10.817=0.6667$ es exactamente dos tercios.