Halla el punto de la recta (0,0) + a*(3, 1) que está más cerca del punto (1, 4).

Step-by-step solution

1. 1

   Usa la proyección ortogonal. El punto más cercano de una recta que pasa por el origen es la proyección de $\mathbf p$ sobre la dirección $\mathbf d$:

   $\operatorname{proj}_{\mathbf d}\mathbf p=\frac{\mathbf p\cdot\mathbf d}{\mathbf d\cdot\mathbf d}\,\mathbf d$

   La propiedad que lo caracteriza es que el residuo $\mathbf p-\operatorname{proj}_{\mathbf d}\mathbf p$ es perpendicular a $\mathbf d$; esa perpendicularidad es justo lo que hace que la distancia sea mínima.

2. 2

   Calcula los dos productos escalares. Con $\mathbf p=(1,4)$ y $\mathbf d=(3,1)$:

   $\mathbf p\cdot\mathbf d=1(3)+4(1)=7,\qquad \mathbf d\cdot\mathbf d=9+1=10$

3. 3

   Halla el parámetro y el punto.

   $a=\frac{7}{10}=0.7\;\Longrightarrow\;\text{punto más cercano}=0.7(3,1)=\left(\frac{21}{10},\,\frac{7}{10}\right)=(2.1,\,0.7)$

4. 4

   Verifica la perpendicularidad. El vector residuo que va del pie hasta $P$ es

   $(1,4)-(2.1,0.7)=(-1.1,\,3.3)$

   y su producto escalar con la dirección es $(-1.1)(3)+(3.3)(1)=-3.3+3.3=0\;\checkmark$. Un producto escalar nulo es una demostración, no un simple indicio — ningún otro punto de la recta tiene esta propiedad.

5. 5

   Lee la distancia mínima como subproducto.

   $\left\|(-1.1,\,3.3)\right\|=\sqrt{1.21+10.89}=\sqrt{12.1}\approx 3.4785$

   Probar parámetros vecinos confirma que es un mínimo: en $a=0.6$ la distancia es $\sqrt{12.2}\approx 3.493$ y en $a=0.8$ también es $\sqrt{12.2}$, las dos mayores que $\sqrt{12.1}$.