Dos hojas cuadradas idénticas tienen cada una una diagonal de 24 cm. Se colocan una sobre la otra de modo que la región solapada sea a su vez un cuadrado de lado AB. Si el área total cubierta por la figura combinada es de 384 cm², halla la longitud de AB.

Step-by-step solution

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   Usar la fórmula del área de un cuadrado a partir de su diagonal. Con $d=s\sqrt2$ se obtiene $s^2=\tfrac{d^2}{2}$, así que

   $\text{Área}=\frac{1}{2}(24)^2=\frac{576}{2}=288\ \text{cm}^2$

   por hoja. Nótese que el área escala con $d^2$: duplicar la diagonal de $12$ a $24$ cuadruplicaría el área.

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   Aplicar inclusión-exclusión. El área cubierta cuenta la región compartida una sola vez, no dos:

   $\text{Cubierta}=\text{Área}_1+\text{Área}_2-\text{Solapamiento}$

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   Despejar el solapamiento. El papel total es $288+288=576\ \text{cm}^2$, pero solo quedan cubiertos $384\ \text{cm}^2$:

   $\text{Solapamiento}=576-384=192\ \text{cm}^2$

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   Extraer la raíz cuadrada, ya que el solapamiento es un cuadrado.

   $AB=\sqrt{192}\ \text{cm}$

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   Simplificar el radical. Se extrae el mayor factor cuadrado perfecto: $192=64\times3$, y $\sqrt{64}=8$, así que

   $AB=8\sqrt3\approx13.86\ \text{cm}$

   A diferencia del caso $\sqrt{78}$ de la versión de $18$ cm, este radical se simplifica de forma limpia.

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   Comprobar que el resultado es plausible. Cada hoja tiene lado $\sqrt{288}\approx16.97$ cm, y $13.86<16.97$ ✓, así que el solapamiento cabe dentro de una hoja. El solapamiento es $\tfrac{192}{288}=\tfrac{2}{3}$ de cada hoja: grande, pero perfectamente posible ✓.