Halla el volumen de un cono cuyo diámetro es 2.2 metros y cuyo ángulo en el vértice es de 60 grados.

Step-by-step solution

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   Convierte el diámetro en radio.

   $r=\frac{d}{2}=\frac{2.2}{2}=1.1\ \text{m}$

   La fórmula del volumen usa el radio, así que esta conversión tiene que ir primero.

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   Interpreta lo de «cono de 60 grados». El convenio habitual es que el ángulo indicado es el ángulo completo del vértice en la sección axial, el triángulo que se ve al cortar el cono por su eje. El eje divide ese ángulo en dos, así que el semiángulo en la punta es

   $\frac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ}$

3. 3

   Obtén la altura a partir del semiángulo. En el triángulo rectángulo que forman el eje, el radio de la base y la generatriz, el radio es el cateto opuesto al semiángulo de $30^{\circ}$ y la altura es el adyacente:

   $\tan 30^{\circ}=\frac{r}{h}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{r}{\tan 30^{\circ}}=r\sqrt3=1.1\sqrt3\approx 1.9052\ \text{m}$

   Usar $\tan 30^{\circ}=1/\sqrt3$ mantiene exacto el resultado.

4. 4

   Aplica la fórmula del volumen del cono.

   $V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi(1.1)^2\left(1.1\sqrt3\right)=\frac{1.331\sqrt3}{3}\pi\ \text{m}^3$

   ya que $(1.1)^2=1.21$ y $1.21\times 1.1=1.331$.

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   Evalúa numéricamente. Con $\sqrt3=1.7320508$,

   $V=\frac{1.331(1.7320508)}{3}\pi=0.7684532\pi\approx 2.4142\ \text{m}^3$

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   Contrasta con el cilindro que lo envuelve y señala la ambigüedad. Un cilindro del mismo radio y la misma altura contiene $\pi r^2h=\pi(1.21)(1.9052)=7.2425$ m$^3$, y un cono es exactamente la tercera parte: $7.2425/3=2.4142$ ✓. Para que quede completo: si los $60^{\circ}$ se hubieran entendido como el semiángulo, entonces $h=1.1/\tan 60^{\circ}=0.6351$ m y $V\approx 0.8047$ m$^3$, una diferencia de tres veces, y por eso importa dejar claro el convenio.