En una pirámide cuadrangular regular T.ABCD la arista de la base es AB = a cm y la altura es t cm. P está en la prolongación de AB con BP = AB, Q está en la prolongación de CB con BQ = CB, y K está en TB con TK = 2KB. El plano PQK corta la pirámide en dos partes. Halla el volumen de cada parte.

Step-by-step solution

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   Sitúa el sólido en coordenadas. Coloca la base cuadrada en el plano $z=0$: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$. En una pirámide regular el vértice se sitúa sobre el centro de la base, así que $T\left(\tfrac a2,\tfrac a2,t\right)$. La pirámide completa tiene volumen $V=\tfrac13 a^2t$.

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   Localiza los tres puntos dados. Prolongando $AB$ más allá de $B$ otra longitud $a$ se obtiene $P(2a,0,0)$. Prolongando $CB$ más allá de $B$ una longitud $a$ se obtiene $Q(a,-a,0)$. De $TK=2KB$ resulta que $K$ divide a $TB$ con $TK:KB=2:1$, así que $K=T+\tfrac23(B-T)=\left(\tfrac{5a}{6},\tfrac a6,\tfrac t3\right)$.

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   Halla la ecuación del plano secante. Tomando $a=t=1$ para el álgebra, $\vec{PQ}=(-1,-1,0)$ y $\vec{PK}=\left(-\tfrac76,\tfrac16,\tfrac13\right)$; su producto vectorial es proporcional a $(1,-1,4)$. El plano es, por tanto, $x-y+4z=2$, y al sustituir $Q$ y $K$ se confirma que ambos pertenecen a él. Observa que el plano no toca en absoluto el cuadrado de la base (sobre $z=0$ es la recta $x-y=2$, y en la base se cumple $x-y\le 1$), de modo que la sección solo corta a las cuatro aristas laterales.

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   Halla dónde corta el plano a cada arista lateral. Al sustituir la parametrización de cada arista en $x-y+4z=2$ se obtiene: $M$ sobre $TA$ con $TM:TA=\tfrac12$; $K$ sobre $TB$ con $TK:TB=\tfrac23$; $N$ sobre $TC$ con $TN:TC=\tfrac12$; $L$ sobre $TD$ con $TL:TD=\tfrac25$. La sección es el cuadrilátero $MKNL$, y la parte superior es el sólido $T.MKNL$.

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   Divide la parte superior en dos tetraedros y aplica la regla de las razones. En un tetraedro, escalar tres aristas que salen de un mismo vértice por los factores $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ multiplica el volumen por $\lambda_1\lambda_2\lambda_3$. Como $T.ABC$ y $T.ACD$ tienen cada uno volumen $\tfrac12 V=\tfrac16 a^2t$: $[T.MKN]=\tfrac12\cdot\tfrac23\cdot\tfrac12\cdot\tfrac16a^2t=\tfrac{1}{36}a^2t$ y $[T.MNL]=\tfrac12\cdot\tfrac12\cdot\tfrac25\cdot\tfrac16a^2t=\tfrac{1}{60}a^2t$.

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   Suma los dos tetraedros y réstalos del total. $\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{60}=\tfrac{5}{180}+\tfrac{3}{180}=\tfrac{8}{180}=\tfrac{2}{45}$, así que la parte que contiene al vértice tiene volumen $\tfrac{2}{45}a^2t$. La otra parte vale $\tfrac13a^2t-\tfrac{2}{45}a^2t=\tfrac{15-2}{45}a^2t=\tfrac{13}{45}a^2t$.

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   Comprueba por integración de Monte Carlo. Tomando cuatro millones de puntos uniformes en la pirámide de tamaño unidad ($a=t=1$) y evaluando $x-y+4z>2$ se obtuvo $0.04436$ para la parte del vértice y $0.28864$ para la otra, frente a los valores exactos $\tfrac{2}{45}=0.04444$ y $\tfrac{13}{45}=0.28889$.