Geometry
Real geometry questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
邊長 4 公分的等邊三角形 ABC 中，CM=BN，求高 CH 與 AN、BM 交點處的角 AGM。用 SAS 全等證 AN=BM，再追角得到 CH=2√3 公分、角 AGM=60 度，附座標驗算。
凸四邊形 ABCD 中 AB=BC、AD=CD，角 B=58 度、角 D=136 度，求角 A。先認出鳶形（風箏形）的對稱性得角 A=角 C，再用四邊形內角和 360 度算出 83 度。
四邊為 15、10.2、4.5、15.3 公尺的地塊，光靠邊長無法定出面積：四邊形可以鉸接變形。說明還缺哪一個條件，以及用對角線拆兩三角形套海龍公式、圓內接時用婆羅摩笈多公式。
已知梯形兩對角線為 15 和 7、中線為 10，求面積。把一條對角線平移成邊長 15、7、20 的三角形，套海龍公式得 42，再用兩式相減直接算高 4.2 驗算。
三角形 ABC 中作角平分線 AL（L 在 BC 上），已知角 ALC=98 度、角 ABC=60 度，求角 ACB。設角 ACB=x，用兩個三角形的內角和列一次方程，解得 44 度。
凸五邊形五個外角比為 1:2:3:4:5，外角和 360 度得每份 24 度，外角為 24、48、72、96、120 度，內角為 156、132、108、84、60 度，最簡比 13:11:9:7:5。
三角形 ABC 中 AB=AC、D 為 BC 中點，證明 AD 垂直 BC。用 SSS 全等得角 ADB=角 ADC，再由兩角互補推得各為 90 度，最後以座標與內積驗證。
等腰梯形上底 5、下底 11、高 6，內接一個底邊落在下底、邊平行於兩底的矩形。寬度隨高度線性遞減為 11−x，面積 A=x(11−x) 在 x=5.5 取最大值 121/4=30.25。
把 x²+8x = −4y−8 化成標準式。配方後得 (x+4)² = −4(y−2)，故 p=−1、開口向下，頂點 (−4,2)、焦點 (−4,1)、對稱軸 x=−4、準線 y=3，並用等距定義驗算。
30×20 公尺的長方形公園，四角各有一個半徑 7 公尺的四分之一圓花圃，剩下區域的周長是多少？直線段共 44 公尺，四段弧合成一整圓 14π，總長 44+14π ≈ 88 公尺。
小房間木地板翻新要 216 元，另一間形狀相同但較大、對應邊長比為 3:4，翻新費用是多少？費用按面積計，面積比為 9:16，故答案為 384 元，而不是按長度比算的 288 元。
由相鄰頂點 A(2,−1)、B(−1,3) 求正方形其餘兩頂點。向量 AB=(−3,4) 長 5，旋轉 90 度得 (4,3) 與 (−4,−3) 兩個方向，故有兩組答案：C(3,6)、D(6,2) 或 C(−5,0)、D(−2,−4)。
梯形 ABCD 中 AB 平行 CD，腰 BC = 7 公分，另一腰 AD 的中點 I 到直線 BC 的距離為 4 公分。把梯形拆成三個三角形，證明中間那個佔一半，得面積 28 平方公分。
兩邊為 3 與 5，第三邊是 x²−6x+8=0 的根。解得 x=2 或 4，但三角不等式要求 2<x<8，x=2 會退化成一直線必須捨去，故三邊為 3、4、5，周長 12。
斜圓柱的特徵截面是邊長 2 公分、夾角 60 度的菱形，求體積。菱形面積 2√3 等於 2rh；由菱形四邊相等得 2r = L = 2，故 r=1、h=2sin60°=√3，體積 √3π ≈ 5.44 立方公分。