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Geometry questions asked by real students

Real geometry questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.

由角 C = 14° 與角平分線半角 28° 求角 ADB：42°

角 ADB = 42°。把被平分的半角加倍得角 A = 56°，再用內角和得 B = 110°，最後在三角形 ABD 中由 180° − 28° − 110° 收尾。

等邊三角形兩條分角線的夾角：AN=BM 與 60 度

邊長 4 公分的等邊三角形 ABC 中，CM=BN，求高 CH 與 AN、BM 交點處的角 AGM。用 SAS 全等證 AN=BM，再追角得到 CH=2√3 公分、角 AGM=60 度，附座標驗算。

30-45-50 三角形中的角平分線：BD = 20、CD = 30、DE = DF = 18 公分

由角平分線的比 30:45 得 BD = 20 公分、CD = 30 公分，而兩條平行線都給出 DE = DF = 18 公分——正因為相等，AFDE 才是菱形。

兩平行線間的折線角 ∠MPN = 360° − 110° − 140° = 110°

過 P 作一條同時平行兩線的輔助線，由同側內角分別得到 70 度與 40 度兩塊，所以 P 處的折線角是 110 度。

鳶形已知兩角求第三角：58 度與 136 度求角 A

凸四邊形 ABCD 中 AB=BC、AD=CD，角 B=58 度、角 D=136 度，求角 A。先認出鳶形（風箏形）的對稱性得角 A=角 C，再用四邊形內角和 360 度算出 83 度。

四個角比為 1 : 2 : 3 : 4 的四邊形：36°、72°、108°、144°

答案是 36、72、108 與 144 度。令共同值為 x，四個角就是 x、2x、3x、4x；內角和 360 度給出 10x = 360，所以 x = 36。

四個角每次遞增 10° 的四邊形：75°、85°、95°、105°

把四個角都用 M 表示，再用 360 度的內角和得到 4x + 60 = 360，所以 x = 75，四個角依序每次多 10 度。

高與角平分線圍成的三角形 ADF 三個角：20°、70°、90°

由角 B = 36、角 C = 76 得角 A = 68，於是角 BAD = 34、角 BAF = 54。相減得角 DAF = 20，再由垂足得角 AFD = 90、角 ADF = 70。

三個角分別相等的兩三角形一定全等嗎：錯，只能保證相似

這個敘述是錯的。角相等只鎖住形狀、鎖不住大小，所以 AAA 只給出相似；3-4-5 與 6-8-10 兩個三角形就是標準反例。

上底 4、下底 4 + 2r、腰 2r 的梯形：周長 8 + 6r、面積 √3·r(r + 4)

周長是 8 + 6r，面積是 √3·r(r + 4)。兩端各多出 r，於是腰 2r、水平邊 r 與高組成 30-60-90 直角三角形，高為 r√3。

13 公尺乘 12 公尺長方形的面積是 156 平方公尺：長乘寬

面積是 156 平方公尺。把兩邊長相乘即可；因為是兩個以公尺為單位的長度相乘，單位會變成平方公尺。用 144 < 156 < 169 可以快速檢查，而同一個長方形的周長 2(13+12) = 50 公尺是完全不同的量。

14 乘 12 的長方形面積是 168 平方單位：長乘寬

面積是 168 平方單位。把 14 乘以 12 即可；相對地，周長是 2(14 + 12) = 52 單位，是另一個公式算出的另一個量，單位就是分辨兩者的線索。

4 公尺乘 3 公尺長方形面積是 12 平方公尺，兼談單位為何要平方

面積是 12 平方公尺。這個長方形正好蓋住 4 乘 3 個邊長 1 公尺的正方形，而兩邊長相乘算的就是這些格子的個數，所以單位自然是平方公尺。

50 公分乘 70 公分長方形面積是 3500 平方公分，也就是 0.35 平方公尺

答案是 3500 平方公分，也就是 0.35 平方公尺。面積是底乘高，單位也一起相乘，所以公分乘公分得到平方公分；換算成平方公尺要除以 10000 而不是 100。

半徑 35 英吋的圓面積：π 取 22/7 得 3850 平方英吋

用 A = πr² 且 π = 22/7，先算 35² = 1225，再約掉 7 得 22 × 175 = 3850 平方英吋。精確值是 1225π ≈ 3848.45 平方英吋，兩者只差約 0.04%。

圓周長 110 公分求面積：π 取 22/7 得 962.5 平方公分

面積是 962.5 平方公分。由 2πr = 110 且 π = 22/7 解得半徑剛好是 17.5 公分，平方後代入面積公式即可；也可以用 A = Cr/2 這個捷徑驗算。

半徑 15 公尺、弧長 37.6 公尺的扇形面積是 282 平方公尺

答案是 282 平方公尺。兩條直邊都是半徑 15 公尺，弧長 37.6 公尺，用 A = rL/2 就不必先求圓心角；順帶一提，這個扇形的周長是 15 + 15 + 37.6 = 67.6 公尺。

邊長比 3:5 的兩個正六邊形：較大者的面積是 225 平方公尺

較大的正六邊形面積是 225 平方公尺。相似圖形的面積按邊長比的平方縮放，所以要把 81 乘以 (5/3)² = 25/9，而不是乘以 5/3；乘 5/3 得到的 135 正是誘答。

六個周長 12 公分的正方形拼成的長方形面積是 54 平方公分

長方形的面積是 54 平方公分。周長 12 公分除以 4 得邊長 3 公分，平方後每個正方形是 9 平方公分，再乘以六個即可，跟怎麼排完全無關。

長 26、寬 9.174 的長方形面積是 238.524 平方單位，不用計算機

面積是 238.524 平方單位。把 9.174 拆成 9 + 0.174，得到 234 + 4.524，比直接乘小數更快，也更容易檢查每一步。

長 8、寬 5 的長方形面積是 40 平方單位

答案是 40 平方單位。長方形的面積等於長乘寬，所以 A = 8 × 5 = 40；同樣這個乘積也在數鋪滿它的單位正方形有幾個。

半徑 21 與 17.5 英吋之間圓環的面積是 423.5 平方英吋，π 取 22/7

圓環的面積是 423.5 平方英吋。外圓周長 132 英吋給出半徑 21 英吋，再把 R² − r² 因式分解成 (R − r)(R + r)，441 − 306.25 就變成好算得多的 3.5 乘 38.5。

四個底 8 公分、高 8 公分的三角形拼成的圖形面積是 128 平方公分

面積是 128 平方公分。每個三角形的面積是 ½ × 8 × 8 = 32 平方公分，而因為四份彼此不重疊也不留空隙，怎麼拼都不影響總面積。

腰 13 公分、底 24 公分的等腰三角形面積是 60 平方公分

底邊上的高會平分底邊，切出 5-12-13 直角三角形，所以高是 5 公分，面積是 (1/2)(24)(5) = 60 平方公分；用海龍公式驗算也得到同一個值。

只知四邊長能算四邊形面積嗎？答案是不行

四邊為 15、10.2、4.5、15.3 公尺的地塊，光靠邊長無法定出面積：四邊形可以鉸接變形。說明還缺哪一個條件，以及用對角線拆兩三角形套海龍公式、圓內接時用婆羅摩笈多公式。

對應邊長比 3:4 的兩個正多邊形：較小者面積是 180 平方公尺

較小的多邊形面積是 180 平方公尺。從 320 縮小要用比值的平方 (3/4)² = 9/16，而不是比值 3/4 本身；用 3/4 去乘會得到誘答 240。

梯形對角線 15、7 與中線 10 求面積：答案 42

已知梯形兩對角線為 15 和 7、中線為 10，求面積。把一條對角線平移成邊長 15、7、20 的三角形，套海龍公式得 42，再用兩式相減直接算高 4.2 驗算。

把三角形 APB 的面積表示成 PC = x 的函數：y = 24 − 3x

面積是 y = 24 − 3x，範圍為 0 < x < 8。取 PB = 8 − x 當底；因為 C 是直角，不論 P 在哪裡，股 AC = 6 都是對應的高。

相似比 2:3 的多邊形面積比是 4:9：把邊長比平方

面積比是 4:9。相似多邊形的面積按相似比的平方縮放，所以邊長比 2:3 要變成 2 的平方比 3 的平方，也就是 4:9，而且順序不能顛倒。

圓心 (2,2) 的圓與 x + y ≤ 4 三角形的公共面積是 2π

公共部分的面積恰好是 2π，約 6.283。圓心正好落在斜邊上，而圓又與兩股相切，所以重疊的部分剛好是半個圓盤。

證明 Au 平行 Bv 且 ∠vBz = 90°，並推得 Bz 垂直 Au

因為 Bm 平行 Ay，∠xBm 等於 ∠xAy，兩者的角平分線與 Ax 所成的同位角相等，所以平行；又鄰補角 ∠xBm 與 ∠ABm 的平分線必夾 90 度，於是 Bz 垂直 Au。

(x − 5)² + (y + 3)² = 9 的圓心是 (5, −3)、半徑是 3

對照標準式 (x − h)² + (y − k)² = r²。因為 y + 3 就是 y − (−3)，圓心的 y 座標是 −3；而半徑是 9 的平方根 3，不是 9 本身。

半徑 28 公分的圓周長：π 取 22/7 得 176 公分

用 C = 2πr 且 π = 22/7，分母的 7 剛好把 28 約掉：2 × 22 × 4 = 176 公分。用真正的 π 算是 175.93 公分，只差約 0.04%。

A(−1,1) 到 B(1,6) 與 C(5,0) 到 D(4,2) 的距離比較：AB 較長

AB 是根號 29，約 5.39；CD 是根號 5，約 2.24，所以 AB 比較長。座標差都會被平方，所以相減的先後順序完全不影響結果。

柱面座標 (2, 30°, 5) 換成直角座標是 (√3, 1, 5)

直角座標是 (√3, 1, 5)，約等於 (1.732, 1, 5)。用 x = r cos θ 與 y = r sin θ 並代入 30° 的精確值，高度 z 則原封不動照搬過去。

三分之二分點與中點之間的距離是 AB = 17

答案是 AB = 17。A 在 (1,10) 到 (−8,4) 的三分之二處，得 A(−5, 6)；B 是 (0,−7) 與 (6,−11) 的中點，得 B(3, −9)；再算根號 (64 + 225) 即可。

(1802, 139, −4524) 與 (1885, 132, −4592) 的空間距離是 √11562

距離是根號 11562，約 107.53。三個座標差分別是 83、−7 與 −68，而 11562 = 2·3·41·47 沒有平方因數，所以根式無法再化簡。

(3, 1, 2) 到 (1, 4, −1) 的空間距離是 √22，約 4.6904

距離是根號 22，約 4.6904。三維公式就是在畢氏定理上再加一個平方差項，而平方會把每一個正負號都抹掉。

點 (1,4) 到直線 a(3,1) 的距離是 11/√10：最小化根號下的二次式

到直線的距離是 11/√10，約 3.4785，在 a = 0.7 時達到。到參數為 a 的那個點的距離是 √(10a² − 14a + 17)，是一條在頂點取最小值的拋物線。

(1, 4, −1) 到直線 a(3, 1, 2) 的距離：用外積求得 √(227/14)

距離是根號 227/14，約 4.0267。點的位置向量與方向向量 (3, 1, 2) 的外積是 (9, −5, −11)，把它的長度除以 √14 就是所求的距離。

M 為中線 AD 中點時，BM = λ·BA + μ·BC 的 (λ, μ) = (1/2, 1/4)

答案是 (λ, μ) = (1/2, 1/4)。把每個點都寫成位置向量，用 D = (B+C)/2 與 M = (A+D)/2，再減去 B，最後和 BA、BC 比較係數即可。

角平分線求三角形角度：角 ALC=98 度求角 ACB

三角形 ABC 中作角平分線 AL（L 在 BC 上），已知角 ALC=98 度、角 ABC=60 度，求角 ACB。設角 ACB=x，用兩個三角形的內角和列一次方程，解得 44 度。

由兩條角平分線與 OA/OE = 3/2 求出 AC = 9 公分

答案是 AC = 9 公分。角平分線定理由 AD/DC = AB/BC 給出 BC = 14，接著在三角形 ABE 裡 BO 平分 B 角，於是 OA/OE = AB/BE。

PR = 3 又 1/3 公尺、PQ = 5 又 5/6 公尺共線時，QR = 2 又 1/2 公尺

QR = 2 又 1/2 公尺。因為 PQ 是比較長的那一段，R 落在 P 與 Q 之間，所以 QR = PQ − PR = 35/6 − 20/6；反過來的順序會算出不可能的負長度。

已知中點 M(2,2) 與端點 R(−1,4)，另一個端點是 S(5, 0)

另一個端點是 S(5, 0)。把中點公式反過來用，新座標等於中點的兩倍減去已知端點，也就是把從 R 到 M 的那一步再走一次，剛好落在 S。

數線上從 X = 5 到 Y = 17 三分之二處的點是 13

整段長 17 − 5 = 12，三分之二是 8，而這 8 個單位必須從 X 量起，所以答案是 5 + 8 = 13，而不是 17 − 8。

邊長 4、7、11 的三角形有幾個？零個，因為 4 + 7 剛好等於 11

三角形不等式要求較短兩邊之和嚴格大於最長邊。這裡 4 + 7 = 11，圖形會退化成一條線段，所以能構成的三角形是零個。

邊長 4、8、11 的三角形有幾個？恰好一個

恰好存在一個三角形。三邊都固定，SSS 使三角形唯一，而三角形不等式也成立，因為 4 + 8 = 12 大於 11。

兩股 3 與 4 的直角三角形斜邊是 5：畢氏定理

斜邊是 c = 5。兩股平方後 9 + 16 = 25 恰好是完全平方數，這也是 3-4-5 成為最有名畢氏三元數的原因。

兩股 6 與 5 的直角三角形斜邊是 √61，約 7.81

斜邊是 c = √61 ≈ 7.81。因為 61 是質數、沒有平方因數，根式無法再化簡，所以精確答案就留在根號的形式。

(x, y) → (−x, −y) 是繞原點旋轉 180 度

把兩個座標都取負號，會把每個點送到原點另一側等距的位置，這就是半圈旋轉——而不是只改變單一座標正負號的鏡射。

五邊形外角比 1:2:3:4:5 求內角：比為 13:11:9:7:5

凸五邊形五個外角比為 1:2:3:4:5，外角和 360 度得每份 24 度，外角為 24、48、72、96、120 度，內角為 156、132、108、84、60 度，最簡比 13:11:9:7:5。

圓與直線 y = x/√3 的交點是 (0.8800, 0.5081) 與 (0.3821, 0.2206)

兩個交點是 (0.8800, 0.5081) 與 (0.3821, 0.2206)。把直線代入圓會得到一個二次方程式，判別式 0.44074 大於零，所以確實交於兩點。

等腰三角形的兩條高：證明 BK = CH 且 KH 平行 BC

等腰三角形的兩條高會截下相等的線段：BK = CH 來自兩個全等的直角三角形，而 KH 平行 BC 則由平行線截比例線段定理的逆定理得到。

證明等腰三角形底邊中線垂直底邊（SSS 全等）

三角形 ABC 中 AB=AC、D 為 BC 中點，證明 AD 垂直 BC。用 SSS 全等得角 ADB=角 ADC，再由兩角互補推得各為 90 度，最後以座標與內積驗證。

等腰梯形內接最大矩形面積：上底 5 下底 11 高 6

等腰梯形上底 5、下底 11、高 6，內接一個底邊落在下底、邊平行於兩底的矩形。寬度隨高度線性遞減為 11−x，面積 A=x(11−x) 在 x=5.5 取最大值 121/4=30.25。

(−1,1) 到 (4,6) 的長度是 5√2，(4,1) 與 (16,−1) 的中點是 (10, 0)

AB 是 5 根號 2，約 7.07；中點是 (10, 0)。距離公式把座標差平方，中點公式則是取平均，所以中點那邊的負號一定要小心處理。

A(2, 5) 與 B(5, 0) 的中點是 (3.5, 2.5)

中點是 (3.5, 2.5)。x 座標與 y 座標要分別取平均——改成把它們相減，正是常見錯誤答案的來源。

(1802, 139, −4524) 與 (1885, 132, −4592) 的中點是 (1843.5, 135.5, −4558)

中點是 (1843.5, 135.5, −4558)。三組座標各自取平均即可；其中兩組的和是奇數，所以會出現 0.5，那是必然的結果而不是誤差。

直線 a(3,1) 上離 (1,4) 最近的點是 (2.1, 0.7)

最近的點是 (21/10, 7/10) = (2.1, 0.7)，也就是 (1, 4) 在 (3, 1) 上的正交投影。殘差 (−1.1, 3.3) 與方向向量垂直，內積剛好是零。

圓內接四邊形中 ∠ABC = 136° 時 ∠ADC = 44°

圓內接四邊形的對角互補，所以 ∠ADC = 180 − 136 = 44 度；鈍角的對角必為銳角，這也可以當成快速檢查。

對角線 14 公分的兩張正方形紙，重疊部分邊長是 6 公分

重疊的正方形邊長是 6 公分。每張紙的面積是 d²/2 = 98，兩張共 196，減去覆蓋面積 160，剩下的 36 平方公分就是重疊面積。

對角線 20 公分的兩張正方形紙，重疊部分邊長是 4 公分

重疊的正方形邊長是 4 公分。每張紙的面積是 200 平方公分，兩張共 400，而覆蓋面積 384 只留下 16 平方公分的重疊。

對角線 28 公分的兩張正方形紙，重疊部分邊長是 8 公分

重疊的正方形邊長是 8 公分。每張紙覆蓋 392 平方公分，兩張共 784，而題目給的覆蓋面積 720 表示有 64 平方公分被算了兩次。

拋物線化標準式求頂點、焦點、對稱軸與準線

把 x²+8x = −4y−8 化成標準式。配方後得 (x+4)² = −4(y−2)，故 p=−1、開口向下，頂點 (−4,2)、焦點 (−4,1)、對稱軸 x=−4、準線 y=3，並用等距定義驗算。

30 乘 20 公尺公園切出半徑 7 公尺圓角後，跑道長 88 公尺

跑道長 88 公尺。每個角落用一段 3.5π ≈ 11 公尺的四分之一弧換掉 14 公尺的直線邊，所以 100 公尺的周長要被扣掉四次約 3 公尺。

三角形 BCD 面積 8、BC = 4√2 時，長方形的周長是 12√2

對角線把長方形分成兩個相等的三角形，所以長方形面積是 16。除以 4√2 得到另一邊 2√2，周長就是 12√2，約 16.97。

四角挖四分之一圓的長方形周長：44 + 14π ≈ 88 公尺

30×20 公尺的長方形公園，四角各有一個半徑 7 公尺的四分之一圓花圃，剩下區域的周長是多少？直線段共 44 公尺，四段弧合成一整圓 14π，總長 44+14π ≈ 88 公尺。

兩底 12 與 18、面積 60 平方公尺的等腰梯形，周長是 40 公尺

由面積公式得高 4 公尺；長底每邊多出 (18−12)/2 = 3 公尺，所以每條腰是 3-4-5 直角三角形的斜邊 5 公尺，周長為 12 + 18 + 5 + 5 = 40 公尺。

兩邊為 5 與 6 的等腰三角形，周長是 16 或 17

第三邊必須等於 5 或 6，得到 5-5-6 與 6-6-5 兩個三角形。兩者都滿足三角形不等式，所以周長並不唯一：16 或 17。

有 14 條對角線的是七邊形；內角和等於外角和的是四邊形

有 14 條對角線的多邊形是七邊形 (n = 7)；而唯一內角和等於外角和的多邊形是四邊形，因為 (n − 2)·180 = 360。

等腰直角三角形中證明 DH 垂直 AC 且 CH 垂直 AD

兩個證明都可由座標 B(0,0)、A(a,0)、C(0,a)、H(t,0)、D(0,−t) 導出：DH 與 AC 的內積、CH 與 AD 的內積都恰好等於零。

相似平行四邊形的周長比：由 8 公分對 6 公分得 4:3

周長比是 4:3。相似圖形的周長比就等於對應邊的比，所以 8 公分比 6 公分約分後便是 4:3，不必再做任何額外計算。

相似房間木地板翻新費用：邊長比 3:4 費用怎麼算

小房間木地板翻新要 216 元，另一間形狀相同但較大、對應邊長比為 3:4，翻新費用是多少？費用按面積計，面積比為 9:16，故答案為 384 元，而不是按長度比算的 288 元。

已知正方形兩相鄰頂點 A(2,−1)、B(−1,3) 求另兩點

由相鄰頂點 A(2,−1)、B(−1,3) 求正方形其餘兩頂點。向量 AB=(−3,4) 長 5，旋轉 90 度得 (4,3) 與 (−4,−3) 兩個方向，故有兩組答案：C(3,6)、D(6,2) 或 C(−5,0)、D(−2,−4)。

線段加法：BC = 7、CD = x + 5、BD = 7x 時，CD = 7

CD = 7。解 7 +（x + 5）= 7x 得 x = 2，所以 CD = x + 5 = 7；整段 BD = 14 恰好被分成兩段各 7 的等長。

線段加法：DE = 2、EF = 2x、DF = x + 3 時，DF = 4

DF = 4。這裡整段本身也含 x，公設給出 2 + 2x = x + 3，因此 x = 1；代回去得 DF = 4，兩小段各為 2。

線段加法：FG = 4、GH = 8x、FH = 10x 時，FH = 20

FH = 20。解 4 + 8x = 10x 得 x = 2，所以 FH = 10x = 20，由 FG = 4 與 GH = 16 組成——把變數釘住的正是那個常數項。

線段加法公設：LM = x + 10、LN = 3x 時，LM = 17

LM = 17。公設給出（x + 10）+ 4 = 3x，所以 x = 7；再代回 LM = x + 10，才算真正回答了題目問的東西。

線段加法：LM = 14、MN = x + 18 時，LN = 51

由 x = 19 得 LN = 51。因為 M 在 L 與 N 之間，LM + MN = LN 給出一條關於 x 的一次方程式——解完要代回 LN，而不是把 x 當答案。

線段加法：LM = 6、MN = x + 9、LN = 6x 時，MN = 12

MN = 12。方程式 6 +（x + 9）= 6x 的解是 x = 3，所以 MN = x + 9 = 12，整段 LN = 18 剛好等於 6 + 12，分割前後一致。

線段加法：LM = 9、MN = x + 7、LN = 3x 時，MN = 15

MN = 15。由 9 +（x + 7）= 3x 得 x = 8，所以 MN = x + 7 = 15，整段 LN = 24 恰好等於 9 + 15，正如公設要求。

線段加法：QR = 11x、QS = 19x − 8 時，QR = 33

由 x = 3 得 QR = 33。R 在 Q 與 S 之間，所以 QR + RS = QS；11x 與 19x 合併後得 8x = 24，最後要代回去求長度 QR，而不是交出 x。

線段加法：RS = 6x、ST = 6、RT = 9x 時，RT = 18

RT = 18。由 6x + 6 = 9x 得 x = 2，所以 RT = 9x = 18，拆成 RS = 12 與 ST = 6——6 : 9 的係數比早就預告了這個三分之二的分割。

線段加法：ST = 6x + 4、SU = 13x − 5 時，TU = 40

由 x = 7 得 TU = 40。因為 T 在 S 與 U 之間，所以列出 ST + TU = SU，解完一次方程式後只把 x 代回 TU 的式子。

與邊長 10.4 公分正三角形等周長的正方形邊長：7.8 公分

正方形的邊長是 7.8 公分。正三角形的周長是 3 × 10.4 = 31.2 公分，把這個共同周長除以 4 條邊就得到 7.8 公分。

對角線 18 公分的兩正方形重疊部分邊長：√78 ≈ 8.83 公分

答案是根號 78，約 8.83 公分。每張紙的面積是 d²/2 = 162，所以重疊面積為 162 + 162 − 246 = 78 平方公分，邊長就是它的平方根。

對角線 24 公分的兩正方形重疊部分邊長：8√3 ≈ 13.86 公分

答案是 8 根號 3，約 13.86 公分。每張紙的面積是 288，所以重疊面積為 576 − 384 = 192 平方公分，而根號 192 可化簡成 8 根號 3。

把 A = πr² 解成 r，並求 A = 78.5 時的半徑：r = √(A/π)，r = 5 公分

公式是 r = √(A/π)，半徑為 5 公分。要先除以 π 再開根號；而且半徑不能是負的，所以只保留正根。

把 S = 2πrh + 2πr² 解成高 h：h = S/(2πr) − r

結果是 h = S/(2πr) − r。要先減掉上下兩個圓面，再把剩下的側面整個除以 2πr——先除後減正是最常見的錯誤。

由 38 度的切線割線夾角求遠弧：140 度

遠弧是 140 度。圓外角等於兩段截弧之差的一半，所以 38 =（遠弧 − 64）÷ 2，得遠弧 = 76 + 64。

切割線定理：PA = 10、PD = 8 給出 PC = 12.5、弦 CD = 4.5

點 P 的圓冪滿足 PA² = PD × PC，所以 PC = 100/8 = 12.5，弦長 CD = PC − PD = 4.5。

體積 729 立方公分的正方體總表面積：先開立方根，得 486 平方公分

總表面積是 486 平方公分。先把 729 開立方根得邊長 9 公分，再對六個全等的正方形面套用 S = 6a²：6 × 81 = 486 平方公分。

體積 729 立方公分的正方體總表面積：486 平方公分（選項 2）

表面積是 486 平方公分。先把 729 開立方根得邊長 9，平方後得一個面 81，再乘上正方體的六個面。

由腰中點到另一腰的距離求梯形面積：28 平方公分

梯形 ABCD 中 AB 平行 CD，腰 BC = 7 公分，另一腰 AD 的中點 I 到直線 BC 的距離為 4 公分。把梯形拆成三個三角形，證明中間那個佔一半，得面積 28 平方公分。

平行邊 45 與 8、高 21 的梯形面積：556.5 平方單位

答案是 556.5 平方單位。頂端被削平的三角形其實就是梯形，所以把兩平行邊平均得 (45+8)/2 = 26.5，再乘上高 21。

第三邊是二次方程的根求三角形周長：答案 12

兩邊為 3 與 5，第三邊是 x²−6x+8=0 的根。解得 x=2 或 4，但三角不等式要求 2<x<8，x=2 會退化成一直線必須捨去，故三邊為 3、4、5，周長 12。

五個單位正方形拼出不同周長：一直排 12 公分、3 加 2 方塊 10 公分

五個邊長 1 公分的正方形排成一直排周長是 12 公分，排成 3 加 2 的方塊則是 10 公分。規則是周長 = 20 − 2 ×（共用邊數）。

(x − 1)² = 8(y − 2) 的頂點 (1, 2)、焦點 (1, 4)、準線 y = 0

頂點 (1, 2)、焦點 (1, 4)、對稱軸 x = 1、準線 y = 0。把方程式對到 (x − h)² = 4p(y − k)，讀出 h、k、p，再定出焦點位置。

拋物線 y² + 6y + 9 = 12 − 12x：頂點 (1, −3)、焦點 (−2, −3)、準線 x = 4

頂點 (1, −3)、焦點 (−2, −3)、對稱軸 y = −3、準線 x = 4。先認出完全平方，整理成 (y + 3)² = −12(x − 1)，再讀出 4p = −12。

直徑 2.2 公尺、頂角 60 度的圓錐體積：約 2.41 立方公尺

V = 1.331√3π/3 = 2.41 立方公尺。60 度頂角折半得 30 度半頂角，所以高是 r/tan30° = 1.1√3 = 1.9052 公尺。

直徑 6 英吋的球體積：36π ≈ 113.1 立方英吋（選項 113.04）

體積是 36π，約 113.1 立方英吋，對應選項 113.04。要先把直徑折半得 r = 3；直接拿 d = 6 代入會把答案放大八倍。

底半徑 2.2 公尺、頂角 60° 的圓錐體積：約 19.313 立方公尺

體積約 19.313 立方公尺。60° 的頂角給出 30° 半頂角，所以高是 r√3 = 3.8105 公尺，再套用 V = πr²h/3。

總表面積 486 平方公分的正方體體積：729 立方公分

體積是 729 立方公分。把 486 除以正方體的六個面得到一個面 81，開平方根得邊長 9，再立方即可。

半徑 3、高 10 的圓柱體積：90π ≈ 282.74 立方單位

答案是 90π，約 282.74 立方單位。圓柱體積等於底面積 πr² 乘以高，所以 π × 3² × 10 = 90π。

444 × 476 × 14 長方體體積：用部分積算得 2,958,816 立方單位

體積是 2,958,816 立方單位。長 × 寬 × 高相乘，把 444 × 476 拆成部分積，讓三個因數的乘法用手算也驗得動。

底邊 12 英吋、高 8 英吋的正四角錐體積：384 立方英吋

體積是 384 立方英吋。先把底邊平方得 144，乘上高 8 得 1152，再除以 3——角錐是同底同高柱體的三分之一。

底邊 15 公尺、高 8 公尺的正四角錐體積：600 立方公尺

體積是 600 立方公尺。底邊平方得 225，乘上高 8，再取三分之一；那個三分之一正是角錐與柱體的差別所在。

直徑 12 公釐球體的體積：288π ≈ 904.8 立方公釐

先把直徑折半得 r = 6 公釐，再用 V = (4/3)πr³ = 288π。用真值 π 是 904.78 立方公釐，用 π = 3.14 的解答本則寫 904.32 立方公釐。

兩股 21、15、長 37 的三角柱體積：½·21·15·37 = 5827.5 立方公尺

體積是 5827.5 立方公尺。先求直角三角形截面的面積（1/2 × 21 × 15 = 157.5 平方公尺），再乘上柱體長度 37 公尺。

斜圓柱體積：軸截面為邊長 2、角 60° 的菱形

斜圓柱的特徵截面是邊長 2 公分、夾角 60 度的菱形，求體積。菱形面積 2√3 等於 2rh；由菱形四邊相等得 2r = L = 2，故 r=1、h=2sin60°=√3，體積 √3π ≈ 5.44 立方公分。

平行於稜 TA 的截面把正四角錐分成的體積比：9 : 23

過 AD 與 AB 中點且平行於 TA 的平面把角錐分成 9 : 23。截面是五邊形，用水平切片積分可得精確的 3/32。

平面 PQK 把正四角錐切成的兩塊體積：2a²t/45 與 13a²t/45

兩塊分別是 2a²t/45 與 13a²t/45。用座標求出平面 PQK 與四條側稜的交點，再套用四面體的體積比例規則。