兩張相同的正方形紙，對角線各為 18 公分，疊在一起使重疊區域也是邊為 AB 的正方形。若合成圖形覆蓋總面積為 246 平方公分，求 AB。

Step-by-step solution

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   直接從對角線求出每張紙的面積。 對邊長為 $s$ 的正方形，對角線是 $d=s\sqrt2$，所以 $s^2=\dfrac{d^2}{2}$。因此面積就是對角線平方的一半——根本不必先求邊長：

   $\text{面積}=\frac{1}{2}d^2=\frac{1}{2}(18)^2=\frac{324}{2}=162\ \text{公分}^2$

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   列出排容原理的關係式。 兩個區域重疊時，實際覆蓋的面積只把共用的部分算一次：

   $\text{覆蓋面積}=\text{面積}_1+\text{面積}_2-\text{重疊面積}$

   這個恆等式就是整題的引擎。

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   解出重疊面積。 兩張紙合起來共有 $162+162=324\ \text{公分}^2$ 的紙，卻只覆蓋了 $246\ \text{公分}^2$：

   $\text{重疊面積}=324-246=78\ \text{公分}^2$

   少掉的 $78\ \text{公分}^2$ 正是被覆蓋兩次的那塊區域。

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   把重疊面積換算成邊長。 題目說重疊區域本身是正方形，所以它的邊長就是面積的平方根：

   $AB=\sqrt{78}\ \text{公分}$

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   化簡並求近似值。 $78=2\times3\times13$ 沒有平方因數，所以 $\sqrt{78}$ 無法再化簡：

   $AB=\sqrt{78}\approx8.83\ \text{公分}$

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   檢查答案在幾何上是否可能。 每張紙的邊長是 $\sqrt{162}\approx12.73$ 公分，而重疊區域的邊 $8.83$ 公分比它小 ✓——重疊部分絕不可能超過紙張本身。另外 $78<162$，所以重疊不到每張紙的一半，與「部分重疊」相符 ✓。