一塊四邊形地塊的四邊長分別為 15 公尺、10.2 公尺、4.5 公尺與 15.3 公尺。只憑邊長能不能求出它的面積？

Step-by-step solution

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   四個邊長不夠。 和三角形不同，四邊形不是剛體：你可以把頂點當鉸鏈把它壓扁或撐開。同樣的四個邊長可以圍出無限多個形狀、面積各不相同，所以不存在任何公式能只憑邊長給出唯一答案。

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   看清再多一個測量值就能定形。 下列任一項都足以把形狀鎖住：一條對角線、一個內角、高，或者已知它屬於某種特定形狀（梯形、平行四邊形、圓內接四邊形）。

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   有了對角線，就拆成兩個三角形。 在 $15$ 與 $4.5$ 這兩邊的公共頂點對面拉出對角線 $d$，就得到一個邊長為 $15$、$10.2$、$d$ 的三角形，和另一個邊長為 $4.5$、$15.3$、$d$ 的三角形。

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   對每個三角形用海龍公式。 邊長為 $a, b, c$、半周長 $s = \tfrac{a+b+c}{2}$ 的三角形，

   $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

   四邊形面積就是 $A = A_1 + A_2$。

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   值得記住的特例。 如果四邊形是圓內接四邊形（四個頂點共圓），那麼四個邊長確實決定面積，公式是婆羅摩笈多公式：

   $A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

   這也是同樣四個邊長所能圍出的最大面積。