一個多邊形有 14 條對角線，它有幾邊？另外，哪一種多邊形的內角和等於外角和？

Step-by-step solution

1. 1

   與其死背，不如把對角線的條數推導出來。 從 $n$ 個頂點的每一個，都可以向另外 $n-3$ 個頂點連線（扣掉自己和左右兩個鄰居，後者連出來的是邊而不是對角線）。這樣每條對角線都從兩端各被數了一次：

   $D=\frac{n(n-3)}{2}.$

2. 2

   令這個數等於 14 並求解。

   $\frac{n(n-3)}{2}=14\ \Longrightarrow\ n^{2}-3n-28=0\ \Longrightarrow\ (n-7)(n+4)=0.$

   兩根是 $n=7$ 與 $n=-4$；多邊形的邊數不可能是負的，所以

   $n=7\quad(\text{七邊形}).$

3. 3

   驗算。 七邊形有 $\tfrac{7\times 4}{2}=14$ 條對角線 ✓。

4. 4

   第 (2) 小題要回想兩個角度和的事實。 對任何凸 $n$ 邊形，

   $\text{內角和}=(n-2)\cdot 180^\circ,\qquad \text{外角和}=360^\circ.$

   外角和才是令人印象深刻的那一個：不論邊數多少，每一個多邊形都是 $360^\circ$——沿著圖形走一圈，正好轉過完整的一整圈。

5. 5

   令這兩個和相等。

   $(n-2)\cdot 180=360\ \Longrightarrow\ n-2=2\ \Longrightarrow\ n=4.$

6. 6

   寫出兩個答案並附上驗算。 有 $14$ 條對角線的多邊形有 $7$ 條邊，而內角和與外角和相等的多邊形是四邊形：它的內角和是 $(4-2)180=360^\circ$，恰好等於對所有多邊形都成立的外角和 $360^\circ$ ✓。另外也留意：多加一條邊不會改變外角和，卻會讓內角和增加 $180^\circ$。