點 A 在 (1, 10) 到 (−8, 4) 這條線段的三分之二處，點 B 是 C(0, −7) 與 D(6, −11) 的中點。求距離 AB。

Step-by-step solution

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   為 A 列出分點公式。 從 $P$ 往 $Q$ 走全程的 $t$ 倍，會落在 $P+t(Q-P)$。這裡 $t=\frac23$、$P=(1,10)$、$Q=(-8,4)$，所以位移是 $Q-P=(-9,-6)$。

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   算出 A。 $A=(1,10)+\frac23(-9,-6)=(1-6,\ 10-4)=(-5,6)$。兩個座標都是整數，因為 $-9$ 與 $-6$ 都能被 $3$ 整除。

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   用中點公式算出 B。 中點就是把座標取平均：$B=\left(\frac{0+6}{2},\frac{-7+(-11)}{2}\right)=(3,-9)$。

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   套用距離公式。 $AB=\sqrt{(3-(-5))^2+(-9-6)^2}=\sqrt{8^2+(-15)^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$。

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   化簡根式。 $\sqrt{289}=17$，所以 $AB=17$。兩股 $8$ 與 $15$ 配上斜邊 $17$ 是有名的畢氏三元數，這是算術正確的好徵兆。

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   驗證 A 真的落在三分之二處。 從 $(1,10)$ 到 $A(-5,6)$ 的距離是 $\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\approx 7.211$，而 $(1,10)$ 到 $(-8,4)$ 的整段長是 $\sqrt{81+36}=\sqrt{117}\approx 10.817$。比值 $7.211/10.817=0.6667$，恰好是三分之二。