四邊形 ABCD 中，角 A = 角 B ÷ 2 = 角 C ÷ 3 = 角 D ÷ 4。求四個角。

Step-by-step solution

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   把這串等式收成一個參數。 因為四個式子彼此相等，就給它們的共同值取個名字：令 $\widehat{A}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{3}=\frac{\widehat{D}}{4}=x.$ 現在一個未知數就控制了全部四個角。

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   把每個角都用 x 表示。 把每條等式乘開： $\widehat{A}=x,\quad \widehat{B}=2x,\quad \widehat{C}=3x,\quad \widehat{D}=4x.$ 所以四個角的比是 $1:2:3:4$——注意原敘述裡的分母正好變成了倍數。

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   用四邊形的內角和。 四邊形可以切成兩個三角形，所以內角總和是 $2\times180^\circ = 360^\circ$： $x+2x+3x+4x = 360^\circ.$

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   解出 x。 $10x = 360^\circ \quad\Longrightarrow\quad x = 36^\circ.$

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   代回去。 $\widehat{A}=36^\circ,\quad \widehat{B}=72^\circ,\quad \widehat{C}=108^\circ,\quad \widehat{D}=144^\circ.$

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   檢查總和與形狀。 $36+72+108+144 = 360$，符合要求。四個角都小於 $180^\circ$，所以這樣的凸四邊形確實存在；另外注意 $\widehat{B}+\widehat{D} = 72+144 = 216^\circ \ne 180^\circ$，所以它不是圓內接四邊形。