三角形 ABC 中 AB = 30 公分、AC = 45 公分、BC = 50 公分，角 A 的角平分線交 BC 於 D。(a) 求 BD 與 CD。(b) 過 D 作 DE 平行 AB（E 在 AC 上）、DF 平行 AC（F 在 AB 上），求 DE 與 DF。

Step-by-step solution

1. 1

   套用角平分線定理。 從 $A$ 出發的內角平分線，把對邊分成的兩段之比等於兩鄰邊之比：

   $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$

   注意它不是另外兩邊的比，也不是中點——角平分線的落點會偏向較短的那一邊。

2. 2

   把比例換算成長度。 令 $BD=2x$、$CD=3x$。因為 $D$ 落在線段 $BC$ 上，兩段相加就是整段：

   $2x+3x=50\quad\Longrightarrow\quad 5x=50\quad\Longrightarrow\quad x=10$

   所以

   $BD=20\ \text{公分},\qquad CD=30\ \text{公分}$

   檢查：$20+30=50$ ✓ 且 $20:30=2:3$ ✓。

3. 3

   用相似三角形求 DE。 因為 $DE\parallel AB$，$\triangle CDE$ 中在 $D$ 與 $E$ 處的角，分別對應 $\triangle CBA$ 中在 $B$ 與 $A$ 處的角（同位角），所以 $\triangle CDE\sim\triangle CBA$。把 $DE$ 對到 $AB$、$CD$ 對到 $CB$：

   $\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CB}\quad\Longrightarrow\quad \frac{DE}{30}=\frac{30}{50}\quad\Longrightarrow\quad DE=18\ \text{公分}$

   關鍵是把 $DE$ 配給 $AB$（兩者都對著 $C$ 的對應頂角），而不是配給 $AC$。

4. 4

   用同樣的方法從另一個頂點求 DF。 因為 $DF\parallel AC$，可得 $\triangle BDF\sim\triangle BCA$，所以

   $\frac{DF}{AC}=\frac{BD}{BC}\quad\Longrightarrow\quad \frac{DF}{45}=\frac{20}{50}\quad\Longrightarrow\quad DF=18\ \text{公分}$

5. 5

   說明 DE 與 DF 為什麼會相等。 兩者都是 $18$ 公分，這並不是巧合。由於 $DE\parallel AB$ 且 $DF\parallel AC$，四邊形 $AFDE$ 是平行四邊形，所以 $AF=DE$、$AE=DF$。但 $AD$ 平分角 $A$，同時又是這個平行四邊形的對角線，這就迫使兩鄰邊相等——平行四邊形因此是菱形，於是 $DE=DF$。用代數說，$AB\cdot\frac{CD}{BC}=AC\cdot\frac{BD}{BC}$ 之所以成立，正是因為 $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$。

6. 6

   用座標驗證。 取 $A=(0,0)$、$B=(30,0)$，把 $C$ 放在滿足 $AC=45$、$BC=50$ 的位置，再把 $D$ 定在由 $B$ 往 $C$ 的 $\tfrac{20}{50}$ 處：算出的距離為 $BD=20.000$、$CD=30.000$，直線 $AD$ 與 $AB$、$AC$ 夾角相等，兩條平行線則給出 $DE=18.000$ 與 $DF=18.000$ ✓。