三角形 ABC 中 AF 是 BC 邊上的高，AD 平分角 BAC。已知角 B = 36 度、角 C = 76 度，求三角形 ADF 的三個角。

Step-by-step solution

1. 1

   先求頂角。 $\triangle ABC$ 的三個內角和為 $180^{\circ}$：

   $\angle A=180^{\circ}-36^{\circ}-76^{\circ}=68^{\circ}$

2. 2

   用高求出 ∠BAF。 在直角三角形 $ABF$ 中，$F$ 處的角是 $90^{\circ}$，所以

   $\angle BAF=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}$

3. 3

   用角平分線求出 ∠BAD。

   $\angle BAD=\frac{\angle A}{2}=\frac{68^{\circ}}{2}=34^{\circ}$

   因為 $34^{\circ}<54^{\circ}$，射線 $AD$ 落在 $AB$ 與 $AF$ 之間，所以底邊上 $D$ 位於 $B$ 與 $F$ 之間。

4. 4

   相減得到三角形 ADF 在 A 處的角。

   $\angle DAF=\angle BAF-\angle BAD=54^{\circ}-34^{\circ}=20^{\circ}$

5. 5

   把另外兩個角讀出來。 $AF\perp BC$ 而且 $D$ 落在 $BC$ 上，所以

   $\angle AFD=90^{\circ}$

   又 $\triangle ADF$ 的內角和必須是 $180^{\circ}$：

   $\angle ADF=180^{\circ}-20^{\circ}-90^{\circ}=70^{\circ}$

   $\boxed{\angle DAF=20^{\circ},\ \angle AFD=90^{\circ},\ \angle ADF=70^{\circ}}$

6. 6

   再用三角形 ABD 把 ∠ADF 驗證一次。 在 $\triangle ABD$ 中：$\angle ABD=36^{\circ}$、$\angle BAD=34^{\circ}$，所以 $\angle ADB=110^{\circ}$。由於 $B$、$D$、$F$ 三點共線，$\angle ADF=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$ ✓——與第一條路徑結果一致。

7. 7

   記下這題示範的一般規律。 從同一個頂點出發的高與角平分線，兩者的夾角永遠是另外兩個角之差的一半：$\tfrac12\left(\angle C-\angle B\right)=\tfrac12(76^{\circ}-36^{\circ})=20^{\circ}$，正好就是 $\angle DAF$。要小心那些把 $\angle AFD$ 寫成 $90^{\circ}$ 以外數值的解答——高的垂足處必定是直角。