一個三角形的兩邊長為 3 與 5。第三邊的長度是方程式 x 平方減 6x 加 8 等於 0 的一個根。求三角形的周長。

Step-by-step solution

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   先解二次方程得到候選值。 找兩個乘積為 $8$、和為 $-6$ 的數來因式分解：

   $x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4)=0\ \Longrightarrow\ x=2\ \text{或}\ x=4.$

   兩個都是正的，所以都通過了「長度必須為正」這道明顯的篩選 —— 而這正是本題設下的陷阱。

2. 2

   想起那個二次方程一無所知的限制。 三個正數要能構成三角形，每一邊都必須小於另外兩邊之和。有了已知的兩邊 $3$ 與 $5$，第三邊 $x$ 必須滿足

   $5-3<x<5+3,\qquad\text{也就是}\qquad 2<x<8.$

3. 3

   檢驗 $x=2$。 此時 $3+2=5$，等於剩下那一邊而不是大於它。三條線段會攤平成一條直線，成為沒有面積的退化圖形，所以 $x=2$ 必須捨去。

4. 4

   檢驗 $x=4$。 三個不等式都查一遍：$3+5=8>4$、$3+4=7>5$、$5+4=9>3$。全部嚴格成立，所以邊長 $3$、$4$、$5$ 的三角形確實存在 —— 事實上就是那個熟悉的直角三角形，因為 $3^2+4^2=5^2$。

5. 5

   算周長。 只有一個根可用，所以答案唯一：

   $P=3+5+4=12.$

   回答「$10$ 或 $12$」是標準的錯誤：那是把兩個根都拿來用、卻沒套用三角不等式的結果。