把柱面座標 (r, θ, z) = (2, 30°, 5) 換成直角座標。

Step-by-step solution

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   回想換算公式。 柱面座標就是 $xy$ 平面上的極座標，再配上原封不動的高度：

   $x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z$

   第三個座標完全不必動手——整個換算都發生在平面上。

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   代入 $30^\circ$ 的精確三角函數值。

   $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin 30^\circ=\frac12$

   用根式而不是小數，答案才能保持精確。

3. 3

   算出 $x$ 與 $y$。

   $x=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\approx 1.7321,\qquad y=2\cdot\frac12=1$

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   把高度照搬過來，寫出這個點。

   $(x,y,z)=\left(\sqrt3,\,1,\,5\right)\approx(1.7321,\,1,\,5)$

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   換算回去檢查。 徑向距離是 $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3+1}=2=r\;\checkmark$，角度則是 $\arctan\!\left(\tfrac{1}{\sqrt3}\right)=30^\circ\;\checkmark$——落在第一象限，正符合 $x$ 與 $y$ 都是正數的要求。兩項來回驗算都確認了這次換算。