正四角錐 T.ABCD 底邊 AB = a 公分、高 t 公分。P 在 AB 延長線上且 BP = AB，Q 在 CB 延長線上且 BQ = CB，K 在 TB 上且 TK = 2KB。平面 PQK 把角錐切成兩塊，求各塊體積。

Step-by-step solution

1. 1

   把立體放進座標。 把正方形底面放在平面 $z=0$ 上：$A(0,0,0)$、$B(a,0,0)$、$C(a,a,0)$、$D(0,a,0)$。正角錐的頂點落在底面中心的正上方，所以 $T\left(\tfrac a2,\tfrac a2,t\right)$。整個角錐的體積是 $V=\tfrac13 a^2t$。

2. 2

   定出這三個給定的點。 把 $AB$ 越過 $B$ 再延長一段長度 $a$ 得 $P(2a,0,0)$。把 $CB$ 越過 $B$ 延長 $a$ 得 $Q(a,-a,0)$。由 $TK=2KB$ 可知點 $K$ 把 $TB$ 分成 $TK:KB=2:1$，所以 $K=T+\tfrac23(B-T)=\left(\tfrac{5a}{6},\tfrac a6,\tfrac t3\right)$。

3. 3

   求出截面平面的方程式。 代數計算時取 $a=t=1$，$\vec{PQ}=(-1,-1,0)$、$\vec{PK}=\left(-\tfrac76,\tfrac16,\tfrac13\right)$；兩者的外積正比於 $(1,-1,4)$。因此平面是 $x-y+4z=2$，代入 $Q$ 與 $K$ 可確認兩點都在上面。注意這個平面完全沒有碰到底面正方形（在 $z=0$ 上它是直線 $x-y=2$，而底面上 $x-y\le 1$），所以截面只會遇到四條側稜。

4. 4

   求平面與每條側稜的交點。 把每條稜的參數式代入 $x-y+4z=2$ 得：$TA$ 上的 $M$ 滿足 $TM:TA=\tfrac12$；$TB$ 上的 $K$ 滿足 $TK:TB=\tfrac23$；$TC$ 上的 $N$ 滿足 $TN:TC=\tfrac12$；$TD$ 上的 $L$ 滿足 $TL:TD=\tfrac25$。截面是四邊形 $MKNL$，上半那一塊就是立體 $T.MKNL$。

5. 5

   把上半塊切成兩個四面體，再用比例規則。 對四面體而言，把從同一頂點出發的三條稜分別以 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 縮放，體積就縮放 $\lambda_1\lambda_2\lambda_3$ 倍。由於 $T.ABC$ 與 $T.ACD$ 的體積各為 $\tfrac12 V=\tfrac16 a^2t$：$[T.MKN]=\tfrac12\cdot\tfrac23\cdot\tfrac12\cdot\tfrac16a^2t=\tfrac{1}{36}a^2t$，而 $[T.MNL]=\tfrac12\cdot\tfrac12\cdot\tfrac25\cdot\tfrac16a^2t=\tfrac{1}{60}a^2t$。

6. 6

   把兩個四面體相加，再從整體扣掉。 $\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{60}=\tfrac{5}{180}+\tfrac{3}{180}=\tfrac{8}{180}=\tfrac{2}{45}$，所以含頂點的那一塊體積是 $\tfrac{2}{45}a^2t$。另一塊則是 $\tfrac13a^2t-\tfrac{2}{45}a^2t=\tfrac{15-2}{45}a^2t=\tfrac{13}{45}a^2t$。

7. 7

   用蒙地卡羅積分檢驗。 在單位大小的角錐（$a=t=1$）中取四百萬個均勻樣本點，測試 $x-y+4z>2$，含頂點那一塊得到 $0.04436$、另一塊得到 $0.28864$，對照精確值 $\tfrac{2}{45}=0.04444$ 與 $\tfrac{13}{45}=0.28889$。