兩張全等正方形紙的對角線都是 14 公分，疊放後重疊區域也是正方形。若總覆蓋面積是 160 平方公分，求重疊部分的邊長。

Step-by-step solution

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   由對角線求出一張紙的面積。 對角線為 $d$ 的正方形，邊長是 $\tfrac{d}{\sqrt2}$，所以面積是

   $A=\left(\frac{d}{\sqrt2}\right)^2=\frac{d^2}{2}$

   取 $d=14$：

   $A=\frac{196}{2}=98\ \text{cm}^2$

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   把兩張紙加起來，重疊處會被算兩次。 把兩張紙疊放在一起，它們的面積和是

   $98+98=196\ \text{cm}^2$

   但重疊的那塊區域在兩張紙裡各被算過一次。

3. 3

   用排容原理把重疊部分分離出來。 實際覆蓋到的面積就是聯集：

   $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

   $160=196-|A\cap B|\quad\Longrightarrow\quad|A\cap B|=36\ \text{cm}^2$

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   把重疊面積換算成邊長。 題目說重疊區域是正方形，所以它的邊長就是面積的平方根：

   $s=\sqrt{36}=6\ \text{cm}$

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   檢查幾何是否自洽。 每張紙的邊長是 $\tfrac{14}{\sqrt2}\approx 9.9$ 公分，而重疊的邊長 $6$ 公分比它小，本來就該如此 $\checkmark$。反推回去：$196-36=160$ $\checkmark$。