頂點為 (2,3)、(4,3)、(3,5) 的三角形經過變換 (x, y) → (−x, −y)。這是平移、對 y 軸鏡射、繞原點旋轉 180 度，還是對 x 軸鏡射？

Step-by-step solution

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   把這條規則和標準規則對照。 每一種基本變換都有自己的座標特徵：

   $\text{對 }y\text{ 軸鏡射}:(x,y)\to(-x,y);\quad \text{對 }x\text{ 軸鏡射}:(x,y)\to(x,-y)$

   $\text{旋轉 }180^{\circ}\text{，中心 }O:(x,y)\to(-x,-y);\quad \text{平移}:(x,y)\to(x+h,y+k)$

   題目給的規則把兩個座標都取了負號，只有第三個對得上。

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   排除平移。 平移是把同一個固定向量加到每一個點上。這裡 $(2,3)\to(-2,-3)$ 位移了 $(-4,-6)$，而 $(3,5)\to(-3,-5)$ 位移了 $(-6,-10)$——向量不同，所以不是平移。

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   把兩種鏡射都排除。 對 $y$ 軸鏡射會讓 $y$ 保持不變，把 $(2,3)$ 送到 $(-2,3)$；對 $x$ 軸鏡射會讓 $x$ 保持不變，把它送到 $(2,-3)$。兩者都不等於真正的像 $(-2,-3)$。

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   用幾何確認這是半圈旋轉。 對任意點 $P=(x,y)$，它的像 $P'=(-x,-y)$ 滿足：原點是 $PP'$ 的中點，因為 $\tfrac{x+(-x)}{2}=0$ 且 $\tfrac{y+(-y)}{2}=0$；而且 $|OP'|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=|OP|$。距離相同、方向相反——那正是繞原點旋轉 $180^{\circ}$。

   $\boxed{\text{C：繞原點旋轉 }180^{\circ}\text{，例如 }(2,3)\to(-2,-3)}$

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   把它用在整個三角形上，並記下一個性質。 像的頂點是 $(-2,-3)$、$(-4,-3)$ 與 $(-3,-5)$。半圈旋轉是保長度、保角度的剛體運動，但與鏡射不同的是它保持定向——頂點的旋轉順序仍然一樣。它也是自己的反變換：做兩次就會讓每個點回到出發處。