射線 Mx 與 Ny 平行，點 P 位於兩線之間，角 xMP = 110 度、角 yNP = 140 度。求角 MPN。

Step-by-step solution

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   過 P 作一條同時平行兩線的輔助線。 兩個給定角位於不同的頂點，目前還沒有任何東西把它們連起來。過 $P$ 引一條平行於 $Mx$（因而也平行於 $Ny$）的射線 $Pz$，就能把 $\angle MPN$ 切成兩塊，每一塊都能綁到其中一個給定角上。

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   在 M 處用同側內角。 $Mx\parallel Pz$ 而以 $MP$ 為截線，所以 $\angle xMP$ 與 $\angle MPz$ 是同側內角，相加為 $180^{\circ}$：

   $\angle MPz=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$

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   在 N 處同樣用同側內角。 同理 $Ny\parallel Pz$ 而以 $NP$ 為截線：

   $\angle NPz=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}$

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   把兩塊加起來。 因為 $Pz$ 落在 $\angle MPN$ 的內部（這正是「$P$ 落在兩線之間」所保證的），

   $\angle MPN=\angle MPz+\angle NPz=70^{\circ}+40^{\circ}=110^{\circ}$

   $\boxed{110^{\circ}}$

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   注意這個捷徑以及它成立的條件。 同樣的計算可以寫成一行

   $\angle MPN=360^{\circ}-110^{\circ}-140^{\circ}=110^{\circ}$

   因為 $\angle xMP$、$\angle MPN$ 與 $\angle yNP$ 三個角繞著輔助線首尾相接合成一整周。這個捷徑只在折點確實落在兩平行線之間時才適用；若它落在帶狀區域之外，兩塊就要相減而不是相加。

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   檢查大小是否合理。 兩個給定角都是鈍角，所以各自在 $P$ 處只貢獻一塊不大的銳角（$70^{\circ}$ 與 $40^{\circ}$），它們的和 $110^{\circ}$ 雖是鈍角但小於 $180^{\circ}$——這與 $P$ 嚴格落在兩線之間一致。