求點 (1, 4) 與直線 (0,0) + a(3, 1) 之間的距離。

Step-by-step solution

1. 1

   先寫出到直線上一般點的距離。 $\ell$ 上的點是 $(3a,a)$，所以

   $d(a)=\sqrt{(1-3a)^2+(4-a)^2}=\sqrt{1-6a+9a^2+16-8a+a^2}=\sqrt{10a^2-14a+17}$

   這個函數回答的是「$P$ 到參數為 $a$ 的那個點有多遠」——到直線的距離則是它的最小值。

2. 2

   把根號底下的二次式最小化。 平方根是遞增的，所以把 $d(a)$ 最小化，等同於把 $q(a)=10a^2-14a+17$ 最小化，而它的頂點在

   $a=-\frac{-14}{2(10)}=\frac{14}{20}=0.7$

   這和垂足投影會給出的 $a$ 相同：$\tfrac{\mathbf p\cdot\mathbf d}{\mathbf d\cdot\mathbf d}=\tfrac{3+4}{10}=0.7$。

3. 3

   在頂點處求值。

   $q(0.7)=10(0.49)-14(0.7)+17=4.9-9.8+17=12.1\;\Longrightarrow\;d=\sqrt{12.1}\approx 3.4785$

4. 4

   用平面上的外積捷徑確認。 在平面上，$P$ 到通過原點、方向為 $\mathbf d=(3,1)$ 的直線的距離是

   $d=\frac{\left|p_xd_y-p_yd_x\right|}{\|\mathbf d\|}=\frac{|1\cdot 1-4\cdot 3|}{\sqrt{10}}=\frac{11}{\sqrt{10}}\approx 3.4785$

   而且確實 $\left(\tfrac{11}{\sqrt{10}}\right)^2=\tfrac{121}{10}=12.1\;\checkmark$，與最小化後的二次式完全吻合。

5. 5

   小心地寫出答案。 如果題目指的是到整條直線的距離，答案是

   $d=\frac{11}{\sqrt{10}}=\frac{11\sqrt{10}}{10}\approx 3.4785$

   如果指的是某個特定參數 $a$，距離就是函數 $\sqrt{10a^2-14a+17}$，它在 $a=0$ 時等於 $\sqrt{17}\approx 4.12$，並在 $|a|\to\infty$ 時無限增大。