三角形 ABC 中，角平分線 AE 與 BD 交於 O。已知 AB = 12 公分、OA/OE = 3/2、AD/DC = 6/7，求 AC。

Step-by-step solution

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   用第一條角平分線求出 BC。 $BD$ 平分 $B$ 角並交 $AC$ 於 $D$，所以在三角形 $ABC$ 中，角平分線定理給出的是與 B 相鄰兩邊的比：

   $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\quad\Longrightarrow\quad \frac{6}{7}=\frac{12}{BC}\quad\Longrightarrow\quad BC=14\ \text{cm}$

   對應關係一定要弄對：$AD$ 與 $AB$ 相鄰，$DC$ 與 $BC$ 相鄰。

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   找出第二個條件的訣竅。 比值 $\dfrac{OA}{OE}$ 是沿著線段 $AE$ 量的，而 $O$ 正是 $BD$ 穿過它的位置。因為 $BD$ 平分 $B$ 角，所以線段 $BO$ 是三角形 $ABE$ 內部的 $B$ 角平分線——理由是 $A$、$O$、$E$ 三點共線。把角平分線定理用到這個較小的三角形上：

   $\frac{OA}{OE}=\frac{BA}{BE}$

   就是這一個觀察，讓這道題能用中學的工具解掉，而不必動用座標。

3. 3

   用未知的 AC 表示 BE。 $AE$ 平分 $A$ 角，所以在三角形 $ABC$ 中 $\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{AB}{AC}$。再配上 $BE+EC=BC=14$：

   $BE=BC\cdot\frac{AB}{AB+AC}=\frac{14\cdot12}{12+AC}=\frac{168}{12+AC}$

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   代入題目給的比值並求解。

   $\frac{OA}{OE}=\frac{AB}{BE}=\frac{12}{\dfrac{168}{12+AC}}=\frac{12\,(12+AC)}{168}=\frac{12+AC}{14}$

   令它等於 $\tfrac32$：

   $\frac{12+AC}{14}=\frac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad 12+AC=21\quad\Longrightarrow\quad AC=9\ \text{cm}$

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   檢查這個三角形是否可能存在。 取 $AB=12$、$BC=14$、$AC=9$，每一條三角形不等式都成立：$12+9=21>14$、$12+14>9$、$9+14>12$ ✓。所以這些條件描述的是一個真正的三角形，而不是退化的圖形。

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   獨立驗證兩個給定的比值。 取 $AC=9$：$BE=\frac{14\cdot12}{21}=8$，所以 $\frac{AB}{BE}=\frac{12}{8}=\frac32$ ✓，與 $\frac{OA}{OE}$ 吻合。而且 $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{12}{14}=\frac67$ ✓。用座標把三角形建出來、明確求出兩條角平分線的交點，會得到 $OA/OE=1.500000$ 與 $AD/DC=0.857143=\tfrac67$ ✓。