直角三角形 ABC 中 ∠C = 90°，AC = 6，BC = 8。點 P 沿 BC 移動但不與 B、C 重合，PC = x。把三角形 APB 的面積 y 表示成 x 的函數，並寫出 x 的範圍。

Step-by-step solution

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   把底選在高已經知道的那一邊。 $P$ 與 $B$ 都落在線段 $BC$ 上，所以取 $PB$ 當作三角形 $APB$ 的底。因為 $\angle C=90^\circ$，股 $AC$ 垂直於直線 $BC$——因此不論 $P$ 停在哪裡，它都垂直於 $PB$。高是個常數

   $h=AC=6.$

   這正是整道題的關鍵：動點改變的是底，卻永遠改不了高。

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   用 x 把底寫出來。 $P$ 落在 $C$ 與 $B$ 之間，$PC=x$、$CB=8$，所以

   $PB=BC-PC=8-x.$

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   套用三角形面積公式。

   $y=\frac{1}{2}\cdot PB\cdot AC=\frac{1}{2}(8-x)(6)=3(8-x).$

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   展開成題目要的一次式。

   $y=24-3x.$

   $P$ 每往 $B$ 滑動一個單位，面積就固定減少 $3$ 平方單位——線性關係看起來本來就該是這樣。

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   從幾何條件、而不是從公式決定 x 的範圍。 $P$ 在線段 $BC$ 上，而且不與任一端點重合，所以 $PC$ 嚴格介於 $0$（在 $C$ 時）與 $8$（在 $B$ 時）之間：

   $0<x<8.$

   兩個端點都要排除，這也是 $y$ 永遠達不到極端值 $24$ 或 $0$ 的原因——在 $x=8$ 時三點會共線，根本構不成三角形。