求圓 (x − 5)² + (y + 3)² = 9 的圓心與半徑。

Step-by-step solution

1. 1

   先寫下標準式。 圓心為 $(h,k)$、半徑為 $r$ 的圓，方程式是

   $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

   標準式裡每個括號中都是減號，下一步靠的就是這個細節。

2. 2

   比對 x 的括號。 $(x-5)^{2}$ 直接對上 $(x-h)^{2}$，得到 $h=5$。

3. 3

   小心比對 y 的括號。 題目給的括號是 $(y+3)^{2}$，要合上標準式就必須改寫成減法：

   $(y+3)^{2}=\big(y-(-3)\big)^{2}\quad\Longrightarrow\quad k=-3$

   在這裡讀成 $k=3$，就是最經典的正負號錯誤。

4. 4

   取出半徑。 等號右邊等於的是 $r^{2}$，不是 $r$：

   $r^{2}=9\quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt9=3$

   （半徑是長度，所以只取正根。）

5. 5

   寫出答案。

   $\boxed{\text{圓心 }(5,-3),\quad \text{半徑 }3}$

6. 6

   用圓上的一點檢查。 從圓心往右移 $3$ 個單位得到 $(8,-3)$；代入得 $(8-5)^{2}+(-3+3)^{2}=9+0=9$ ✓。往上移 $3$ 個單位得到 $(5,0)$：$0+9=9$ ✓。兩點都在圓上，同時印證了圓心與半徑。