求圓 (x − 0.5334)² + (y − 0.5334)² = 0.3475² 與直線 (√3/3)x − y = 0 的交點。

Step-by-step solution

1. 1

   把直線改寫成 $y$ 對 $x$ 的式子。

   $y=\frac{\sqrt3}{3}x=\frac{x}{\sqrt3}\approx 0.5773503\,x$

   這條直線通過原點，傾角為 $30^\circ$，因為它的斜率就是 $\tan 30^\circ$。

2. 2

   代入圓的方程式。 把 $y$ 換掉，兩個變數的聯立就變成單一的二次方程式：

   $(x-0.5334)^2+\left(\frac{x}{\sqrt3}-0.5334\right)^2=0.3475^2$

   展開後依 $x$ 的次方整理，得到 $Ax^2+Bx+C=0$，其中

   $A=1+\frac13=\frac43,\qquad B=-2(0.5334)-\frac{2(0.5334)}{\sqrt3}=-1.6827173,\qquad C=2(0.5334)^2-0.3475^2=0.4482749$

3. 3

   動手解之前先驗判別式。

   $\Delta=B^2-4AC=2.8315374-2.3907993=0.4407381>0$

   判別式為正，代表這條直線確實把圓切了兩刀；等於零表示相切，小於零則表示完全沒碰到。先查這一項，就知道該預期幾個答案。

4. 4

   解這個二次方程式。

   $x=\frac{1.6827173\pm\sqrt{0.4407381}}{2(4/3)}=\frac{1.6827173\pm 0.6638811}{2.6666667}$

   $x_1=0.879974,\qquad x_2=0.382064$

5. 5

   用直線把 $y$ 座標求回來。

   $y_1=0.5773503(0.879974)=0.508053,\qquad y_2=0.5773503(0.382064)=0.220585$

   所以兩個交點是 $(0.8800,\,0.5081)$ 與 $(0.3821,\,0.2206)$。

6. 6

   驗證兩點都落在圓上。 代回去，$(0.879974-0.5334)^2+(0.508053-0.5334)^2=0.120756=0.3475^2\;\checkmark$，第二個點同樣成立，吻合到小數點後十二位。注意：若把第一個點捨入成 $(0.8806,\,0.5084)$，它就會偏離圓大約 $4\times 10^{-4}$。