三角形 ABC 中作出角平分線 AL，L 在邊 BC 上。已知角 ALC 為 98 度、角 ABC 為 60 度。求角 ACB，答案以度為單位。

Step-by-step solution

1. 1

   把真正要求的角設成未知數。 設 $\angle ACB = x$。直接拿題目要的角當變數，後面每一條式子都只含 $x$，不必同時帶著三個未知角。

2. 2

   用三角形 $ABC$ 的內角和表示 $\angle A$。 三角相加為 $180^\circ$，所以

   $\angle A = 180^\circ - 60^\circ - x = 120^\circ - x$

3. 3

   用角平分線把這個角減半。 $AL$ 平分 $\angle A$，所以落在三角形 $ALC$ 內的那一半是

   $\angle CAL = \frac{120^\circ - x}{2}$

   整題只有這裡用到角平分線這個條件，也正是它把大三角形和小三角形串起來。

4. 4

   對三角形 $ALC$ 寫內角和。 因為 $L$ 在線段 $BC$ 上，三角形 $ALC$ 在 $C$ 處的角就是同一個 $\angle ACB = x$。於是

   $\frac{120^\circ - x}{2} + 98^\circ + x = 180^\circ$

5. 5

   解這個一次方程。

   $\frac{120 - x}{2} + x = 82 \;\Longrightarrow\; 60 - \frac{x}{2} + x = 82 \;\Longrightarrow\; \frac{x}{2} = 22$

   $x = 44^\circ$

6. 6

   驗證四個角是否都相容。 取 $x = 44^\circ$ 得 $\angle A = 76^\circ$，所以每一半是 $38^\circ$。三角形 $ALC$：$38^\circ + 98^\circ + 44^\circ = 180^\circ$。三角形 $ABC$：$76^\circ + 60^\circ + 44^\circ = 180^\circ$。兩邊都對。