圓內接四邊形 ABCD，圓在 A 處的切線 l 與直線 CD 交於 P，已知 AD = 3、DP = 8、PA = 10。求 CD 的長度。

Step-by-step solution

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   先辨認 P 處的圖形結構。 從圓外一點 $P$ 引出兩條線到圓：一條是切於 $A$ 的切線 $PA$，另一條是通過 $D$ 與 $C$ 的割線。這正是切割線定理（圓冪定理）適用的情境。

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   寫出定理。 點 $P$ 對此圓的圓冪可以用兩種方式算出，因而得到

   $PA^{2}=PD\cdot PC$

   其中 $PD$ 與 $PC$ 分別是 $P$ 到割線與圓的近交點與遠交點的距離。注意切線長要平方，而割線貢獻的是整個乘積——不是 $PD\cdot DC$。

3. 3

   代入給定的長度。

   $10^{2}=8\cdot PC\quad\Longrightarrow\quad 100=8\,PC\quad\Longrightarrow\quad PC=\frac{100}{8}=\frac{25}{2}=12.5$

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   相減得到弦長。 因為在割線上 $D$ 落在 $P$ 與 $C$ 之間，

   $CD=PC-PD=\frac{25}{2}-8=\frac{25}{2}-\frac{16}{2}=\frac92=4.5$

   $\boxed{CD=\dfrac92}$

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   檢查一致性。 由 $PD=8<PC=12.5$ 可知 $D$ 的確是較近的那個交點，與先前的假設相符。另外 $PA=10$ 嚴格落在 $PD=8$ 與 $PC=12.5$ 之間，這是定理逼出來的：$PA=\sqrt{PD\cdot PC}$ 是兩者的幾何平均數，而幾何平均數必定落在兩數之間。已知條件 $AD=3$ 在這一小題用不到——它屬於題目後面的小題。

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   再用三角不等式做一次合理性檢查。 三角形 $APD$ 的三邊為 $PA=10$、$PD=8$、$AD=3$：$8+3=11>10$ ✓，所以這樣的三角形存在，整個配置是自洽的。