一個等腰梯形的上底為 5、下底為 11、高為 6。在其中內接一個矩形，其中一邊落在下底上，且各邊平行於兩底。這個矩形的面積最大是多少？

Step-by-step solution

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   先找出梯形的寬度如何隨高度縮小。 兩底相差 $11-5=6$，由對稱性，每一條斜邊在整個高 $6$ 的範圍內各向內移 $\tfrac{6}{2}=3$。所以寬度是離底邊高度 $x$ 的一次函數，從 $x=0$ 的 $11$ 降到 $x=6$ 的 $5$：

   $w(x)=11-\frac{11-5}{6}\,x=11-x,\qquad 0\le x\le 6.$

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   用一個變數表示矩形面積。 設矩形的高為 $x$，底邊落在下底上。它的上緣位於高度 $x$ 處，而矩形必須在那裡塞進梯形裡 —— 那裡是圖形較窄的地方；因為寬度遞減，上緣才是束縛條件。所以最寬的這種矩形寬度為 $w(x)=11-x$，面積為

   $A(x)=x(11-x)=11x-x^{2}.$

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   求二次式的最大值。 $A(x)=-x^{2}+11x$ 是開口向下的拋物線，最大值在頂點：

   $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-11}{2(-1)}=\frac{11}{2}=5.5.$

   這個值落在允許範圍 $0\le x\le 6$ 之內，所以它是真正的最大值，不會被端點截掉。（用配方法也一樣：$A=\tfrac{121}{4}-\left(x-\tfrac{11}{2}\right)^{2}$。）

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   算出最大面積。

   $A\!\left(\frac{11}{2}\right)=\frac{11}{2}\left(11-\frac{11}{2}\right)=\frac{11}{2}\cdot\frac{11}{2}=\frac{121}{4}=30.25.$

   最佳矩形剛好是邊長 $5.5$ 的正方形。

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   檢查答案是否合理。 梯形本身的面積是 $\tfrac{5+11}{2}\cdot 6=48$，所以最佳矩形填滿了它的 $\tfrac{30.25}{48}\approx 63\%$ —— 說得通。以 $10^{-5}$ 的步長在 $[0,6]$ 上數值掃過 $A(x)=x(11-x)$，最大值出現在 $x=5.5$ 處、為 $30.25$，印證了頂點的計算。