設 ∠xAy 為銳角，B 在射線 Ax 上，射線 Bm 在 ∠xAy 內且平行 Ay。Au 與 Bv 分別平分 ∠xAy 與 ∠xBm。(a) 證明 Au 平行 Bv。(b) 若 Bz 平分 ∠ABm，證明 ∠vBz = 90°。(c) 推得 Bz 垂直 Au。

Step-by-step solution

1. 1

   (a) 用平行的射線把角搬過去。 因為 $Bm\parallel Ay$，而 $Ax$ 是截線，分別在 $A$ 與 $B$ 截到這兩條，所以 $\angle xBm$ 與 $\angle xAy$ 是同位角，因此相等：

   $\angle xBm=\angle xAy$

2. 2

   把兩個相等的角各取一半。 角平分線把相等的角切成相等的一半，所以

   $\angle xBv=\tfrac12\angle xBm=\tfrac12\angle xAy=\angle xAu$

   這兩個角又是截線 $Ax$ 截 $Au$ 與 $Bv$ 所成的同位角。同位角相等就迫使兩直線平行：

   $Au\parallel Bv$

3. 3

   (b) 找出 B 處互補的那一對角。 點 $A$、$B$ 與 $x$ 方向落在同一條直線上，且 $B$ 位於 $A$ 與 $x$ 方向之間，所以射線 $BA$ 與 $Bx$ 反向。於是 $\angle ABm$ 與 $\angle xBm$ 構成一組鄰補角：

   $\angle ABm+\angle xBm=180^{\circ}$

4. 4

   把這組鄰補角各取一半。 $Bz$ 平分 $\angle ABm$，$Bv$ 平分 $\angle xBm$，而被平分的這兩個角沿著直線相鄰，所以

   $\angle vBz=\tfrac12\angle xBm+\tfrac12\angle ABm=\tfrac12\left(\angle xBm+\angle ABm\right)=\tfrac12(180^{\circ})=90^{\circ}$

   $\boxed{\angle vBz=90^{\circ}}$

   這就是那條普遍成立的事實：兩個鄰補角的角平分線永遠互相垂直。

5. 5

   (c) 把兩個結果合起來。 由 (b) 得 $Bz\perp Bv$；由 (a) 得 $Bv\parallel Au$。垂直於兩平行線之一的直線，也垂直於另一條，所以

   $Bz\perp Au$

   $\boxed{Au\parallel Bv,\quad \angle vBz=90^{\circ},\quad Bz\perp Au}$

6. 6

   用一個具體的角度檢查。 取 $\angle xAy=60^{\circ}$。則 $\angle xBm=60^{\circ}$，所以 $\angle xBv=30^{\circ}=\angle xAu$ ✓（同位角相等）。又 $\angle ABm=120^{\circ}$，所以 $\angle ABz=60^{\circ}$，$\angle vBz=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$ ✓。注意 (c) 的結論是 $Bz\perp Au$，不是 $Bz\perp Ay$——除非 $Au$ 剛好與 $Ay$ 重合，否則這是兩條不同的直線。