求點 (1, 4, −1) 到直線 (0,0,0) + a(3, 1, 2) 的距離。

Step-by-step solution

1. 1

   列出外積公式。 對於通過點 $Q$、方向為 $\mathbf d$ 的直線，$P$ 到它的距離是

   $d=\frac{\left\|\overrightarrow{QP}\times\mathbf d\right\|}{\|\mathbf d\|}$

   這裡 $Q$ 就是原點，所以 $\overrightarrow{QP}=\mathbf p=(1,4,-1)$，$\mathbf d=(3,1,2)$。從幾何上看，分子是這兩個向量張成的平行四邊形面積，除以底 $\|\mathbf d\|$ 之後剩下的正是高——也就是所求的距離。

2. 2

   計算外積。

   $\mathbf p\times\mathbf d=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ 1&4&-1\\ 3&1&2\end{vmatrix}=\left(4\cdot 2-(-1)\cdot 1,\;(-1)\cdot 3-1\cdot 2,\;1\cdot 1-4\cdot 3\right)=(9,\,-5,\,-11)$

   中間那個分量用到了行列式展開內建的負號，正負號的錯誤都集中在這裡。

3. 3

   取出兩個長度。

   $\left\|\mathbf p\times\mathbf d\right\|=\sqrt{81+25+121}=\sqrt{227},\qquad \|\mathbf d\|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$

4. 4

   相除得到距離。

   $d=\frac{\sqrt{227}}{\sqrt{14}}=\sqrt{\frac{227}{14}}\approx\sqrt{16.2143}\approx 4.0267$

5. 5

   用投影法交叉驗算。 垂足落在參數

   $a^{*}=\frac{\mathbf p\cdot\mathbf d}{\mathbf d\cdot\mathbf d}=\frac{3+4-2}{14}=\frac{5}{14}$

   處，於是垂足是 $\tfrac{5}{14}(3,1,2)=(1.0714,\,0.3571,\,0.7143)$。$P$ 到那個點的距離是 $\sqrt{(1-1.0714)^2+(4-0.3571)^2+(-1-0.7143)^2}=4.0267\;\checkmark$——用一條獨立的路徑得到同樣的值。