從圓外一點 P 作一條切線與一條割線，角 P 為 38 度、較近的截弧為 64 度。求較遠的截弧。

Step-by-step solution

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   回想圓外角定理。 當兩條直線交於圓外時——不論是兩條割線、一條切線加一條割線，或兩條切線——所成的角等於兩段截弧之差的一半：

   $\angle P=\frac{1}{2}\left(\text{遠弧}-\text{近弧}\right)$

   值得記住的對照是：頂點落在圓上的角是單一段弧的一半，頂點在圓內的角則是兩段弧之和的一半。頂點位置決定該用哪一條規則。

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   分清楚哪一段弧是哪一段。 近弧是兩交點之間靠近 $P$ 的那一段（這裡是 $64^{\circ}$）；遠弧則在圓的另一側。遠弧永遠是兩者中較大的，所以答案必定大於 $64^{\circ}$——這是動筆前就能先做的檢查。

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   代入給定的數值。

   $38=\frac{1}{2}\left(\text{遠弧}-64\right)$

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   解出未知的那段弧。 兩邊同乘 2，再加 64：

   $76=\text{遠弧}-64\ \Longrightarrow\ \text{遠弧}=140^{\circ}$

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   驗證整個配置是否自洽。 遠弧 $140^{\circ}$ 的確比近弧 $64^{\circ}$ 大 ✓，兩者合起來用掉圓周的 $204^{\circ}$，還剩 $156^{\circ}$ 留給切點所截出的另外兩段弧——是正的，所以這個圖在幾何上可行。代回去：$\tfrac12(140-64)=\tfrac12(76)=38^{\circ}$ ✓。