梯形 ABCD 中 AB 平行於 CD，腰 BC 長 7 公分，另一腰 AD 的中點 I 到直線 BC 的距離為 4 公分。求梯形的面積。

Step-by-step solution

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   注意到什麼沒有給，然後別再去找它。 題目既沒給底邊長度，也沒給梯形的高，而且它們根本無法還原 —— 有無限多個梯形符合這些條件。所以面積必須單靠 $BC$ 與那一個距離就算得出來，這就指向「拆面積」的論證，而不是常見的底乘高公式。

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   從 $I$ 把梯形拆開。 把 $I$ 分別連到 $B$ 與 $C$，梯形被切成三個三角形：$IAB$、$IBC$ 與 $ICD$。它們的面積加起來就是整體：

   $S_{ABCD} = S_{IAB} + S_{IBC} + S_{ICD}$

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   用中點把其中兩個高定住。 設 $h$ 為梯形的高，也就是平行線 $AB$ 與 $CD$ 之間的距離。因為 $I$ 是 $AD$ 的中點，而 $A$ 在直線 $AB$ 上、$D$ 在直線 $CD$ 上，所以 $I$ 到每一條平行線的距離都是 $h/2$。因此

   $S_{IAB} = \tfrac12 \cdot AB \cdot \tfrac{h}{2}, \qquad S_{ICD} = \tfrac12 \cdot CD \cdot \tfrac{h}{2}$

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   把兩者相加，再與梯形比較。 把外側兩個三角形加起來：

   $S_{IAB} + S_{ICD} = \frac{(AB+CD)h}{4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{(AB+CD)h}{2} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$

   外側兩個三角形恰好佔梯形的一半，所以中間那個三角形佔另一半：

   $S_{IBC} = \tfrac12 S_{ABCD}$

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   由題給資料算出中間的三角形。 三角形 $IBC$ 以 $BC = 7$ 為底，高就是 $I$ 到直線 $BC$ 的距離 $4$：

   $S_{IBC} = \tfrac12 \cdot 7 \cdot 4 = 14\ \text{cm}^2$

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   加倍得到梯形面積。 因為 $S_{IBC}$ 是梯形的一半，

   $S_{ABCD} = 2 \cdot 14 = 28\ \text{cm}^2$

   數值檢查也確認結果與底邊無關：只要仍滿足 $BC = 7$ 與 $\operatorname{dist}(I, BC) = 4$，不論底與高差多少，造出來的梯形面積永遠是 $28\ \text{cm}^2$。