求直徑 2.2 公尺、頂角 60 度的圓錐體積。

Step-by-step solution

1. 1

   先把直徑換成半徑。

   $r=\frac{d}{2}=\frac{2.2}{2}=1.1\ \text{公尺}$

   體積公式用的是半徑，所以這個換算必須擺在最前面。

2. 2

   解讀「60 度圓錐」的意思。 標準約定是：所報的角是軸截面的完整頂角——也就是沿著軸把圓錐剖開後看到的那個三角形的頂角。軸會把這個角平分，所以尖端的半頂角是

   $\frac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ}$

3. 3

   由半頂角求高。 在由軸、底半徑與母線構成的直角三角形裡，半徑是 $30^{\circ}$ 半頂角的對邊，高則是它的鄰邊：

   $\tan 30^{\circ}=\frac{r}{h}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{r}{\tan 30^{\circ}}=r\sqrt3=1.1\sqrt3\approx 1.9052\ \text{公尺}$

   用 $\tan 30^{\circ}=1/\sqrt3$ 可以讓答案保持精確。

4. 4

   套用圓錐體積公式。

   $V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi(1.1)^2\left(1.1\sqrt3\right)=\frac{1.331\sqrt3}{3}\pi\ \text{公尺}^3$

   因為 $(1.1)^2=1.21$ 且 $1.21\times 1.1=1.331$。

5. 5

   算出數值。 取 $\sqrt3=1.7320508$，

   $V=\frac{1.331(1.7320508)}{3}\pi=0.7684532\pi\approx 2.4142\ \text{公尺}^3$

6. 6

   用外接圓柱檢查，並注意這裡的歧義。 同半徑同高的圓柱可裝 $\pi r^2h=\pi(1.21)(1.9052)=7.2425$ 公尺$^3$，而圓錐恰好是它的三分之一：$7.2425/3=2.4142$ ✓。補充一點：若題目的 $60^{\circ}$ 原意是半頂角，則 $h=1.1/\tan 60^{\circ}=0.6351$ 公尺、$V\approx 0.8047$ 公尺$^3$——相差三倍，這就是為什麼一定要把約定講清楚。