求直線 (0,0) + a(3, 1) 上離點 (1, 4) 最近的點。

Step-by-step solution

1. 1

   用正交投影。 通過原點的直線上最近的點，就是 $\mathbf p$ 在方向 $\mathbf d$ 上的投影：

   $\operatorname{proj}_{\mathbf d}\mathbf p=\frac{\mathbf p\cdot\mathbf d}{\mathbf d\cdot\mathbf d}\,\mathbf d$

   它的特徵性質是：殘差 $\mathbf p-\operatorname{proj}_{\mathbf d}\mathbf p$ 垂直於 $\mathbf d$；正是這個垂直性讓距離達到最小。

2. 2

   算出兩個內積。 取 $\mathbf p=(1,4)$ 與 $\mathbf d=(3,1)$：

   $\mathbf p\cdot\mathbf d=1(3)+4(1)=7,\qquad \mathbf d\cdot\mathbf d=9+1=10$

3. 3

   求出參數與那個點。

   $a=\frac{7}{10}=0.7\;\Longrightarrow\;\text{最近點}=0.7(3,1)=\left(\frac{21}{10},\,\frac{7}{10}\right)=(2.1,\,0.7)$

4. 4

   驗證垂直性。 從垂足指向 $P$ 的殘差向量是

   $(1,4)-(2.1,0.7)=(-1.1,\,3.3)$

   它與方向向量的內積是 $(-1.1)(3)+(3.3)(1)=-3.3+3.3=0\;\checkmark$。內積為零是證明，不只是佐證——直線上沒有別的點具備這個性質。

5. 5

   順帶把最小距離讀出來。

   $\left\|(-1.1,\,3.3)\right\|=\sqrt{1.21+10.89}=\sqrt{12.1}\approx 3.4785$

   測試鄰近的參數可以確認這是最小值：在 $a=0.6$ 時距離是 $\sqrt{12.2}\approx 3.493$，在 $a=0.8$ 時也是 $\sqrt{12.2}$，兩者都大於 $\sqrt{12.1}$。