一個凸五邊形的五個外角比為 1 : 2 : 3 : 4 : 5。求五個內角，並寫出它們之間的最簡比。

Step-by-step solution

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   從外角而不是內角出發，因為外角和是那個與邊數無關的事實。 沿著任何凸多邊形走一圈，你剛好轉過一整圈，所以

   $\text{sum of exterior angles}=360^\circ$

   不論是三角形、五邊形還是一百邊形都一樣。正是這個定值讓題給的比例可以用。

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   引入比例係數並求解。 把五個外角寫成 $k,2k,3k,4k,5k$，則

   $k+2k+3k+4k+5k=15k=360^\circ$

   $k=24^\circ$

3. 3

   列出五個外角。

   $24^\circ,\quad 48^\circ,\quad 72^\circ,\quad 96^\circ,\quad 120^\circ$

   五個都是正的且小於 $180^\circ$，所以這樣的凸五邊形在幾何上是可能存在的。

4. 4

   把每個外角換成內角。 每個頂點的內角與外角合成一條直線，所以互補：

   $\text{interior}=180^\circ-\text{exterior}$

   $180-24=156^\circ,\quad 180-48=132^\circ,\quad 180-72=108^\circ,\quad 180-96=84^\circ,\quad 180-120=60^\circ$

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   用內角和檢查。 $n$ 邊形的內角和為 $(n-2)\cdot180^\circ$，這裡是 $(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ$：

   $156+132+108+84+60=540\;\checkmark$

   這是獨立的驗證，因為它用到的公式從頭到尾沒被代進計算裡。

6. 6

   把內角化成最簡比。 把 $156:132:108:84:60$ 同除公因數 $12$，得

   $13:11:9:7:5.$

   注意這個比不是 $5:4:3:2:1$ —— 「用 $180^\circ$ 去減」不是成比例的運算，所以外角成等差比例時，內角會變成另一組不同的等差比例。這個陷阱正是本題的重點。