三角形 ABC 中，AD 是 BC 邊上的中線，M 是 AD 的中點。若向量 BM = λ·向量 BA + μ·向量 BC，求數對 (λ, μ)。

Step-by-step solution

1. 1

   改用位置向量，中點就變成平均。 用 $\vec A,\vec B,\vec C,\vec D,\vec M$ 表示各點的位置向量。好處是中點只不過是兩端點的平均，於是幾何問題變成了係數上的算術。

2. 2

   先定出 D，再定出 M。 $AD$ 是 $BC$ 上的中線，所以 $D$ 是 $BC$ 的中點：

   $\vec D=\frac{\vec B+\vec C}{2}$

   而 $M$ 是 $AD$ 的中點：

   $\vec M=\frac{\vec A+\vec D}{2}=\frac{1}{2}\vec A+\frac{1}{4}\vec B+\frac{1}{4}\vec C$

3. 3

   組出向量 BM。 減去 $B$ 的位置向量：

   $\overrightarrow{BM}=\vec M-\vec B=\frac{1}{2}\vec A+\frac{1}{4}\vec B+\frac{1}{4}\vec C-\vec B=\frac{1}{2}\vec A-\frac{3}{4}\vec B+\frac{1}{4}\vec C$

4. 4

   把目標組合寫在同一套座標下。 因為 $\overrightarrow{BA}=\vec A-\vec B$ 且 $\overrightarrow{BC}=\vec C-\vec B$，

   $\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BC}=\lambda\vec A+\mu\vec C-(\lambda+\mu)\vec B$

5. 5

   比較係數。 比較 $\vec A$ 項得 $\lambda=\tfrac12$；比較 $\vec C$ 項得 $\mu=\tfrac14$。

   $\boxed{(\lambda,\mu)=\left(\tfrac12,\ \tfrac14\right)}$

6. 6

   用第三個係數驗證。 $\vec B$ 項要求 $-(\lambda+\mu)=-\tfrac34$，而確實 $\tfrac12+\tfrac14=\tfrac34$。這個一致性檢查很重要：這類式子裡 $\vec A,\vec B,\vec C$ 的三個係數之和必須是 $0$，因為 $\overrightarrow{BM}$ 是兩點之差，與原點取在哪裡無關。