求拋物線 (x − 1)² = 8(y − 2) 的頂點、焦點、對稱軸與準線。

Step-by-step solution

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   先決定要用兩個標準式中的哪一個。 被平方的變數是 $x$，所以拋物線是上下開口的。這就把樣板固定成

   $(x-h)^2 = 4p(y-k)$

   若被平方的是 $y$，拋物線會改成左右開口，底下每一條公式的角色都要對調。

2. 2

   逐項比對，讀出 $h$、$k$ 與 $p$。 把 $(x-1)^2 = 8(y-2)$ 與樣板相比，得 $h = 1$、$k = 2$、$4p = 8$，所以

   $p = 2$

   因為 $p > 0$，拋物線向上開口。

3. 3

   頂點就是 $(h,k)$。 直接從比對結果讀出，頂點是 $(1, 2)$。

4. 4

   焦點沿著對稱軸離頂點 $p$ 單位。 對上下開口的拋物線，焦點是 $(h,\; k+p)$：

   $(1,\; 2+2) = (1, 4)$

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   準線在另一側 $p$ 單位處，而對稱軸同時穿過兩者。 對稱軸是通過頂點的鉛直線 $x = h = 1$。準線則是水平線 $y = k - p = 2 - 2 = 0$，也就是 $x$ 軸。

6. 6

   用焦點—準線的定義驗證。 取 $(5, 4)$：$(5-1)^2 = 16 = 8(4-2)$，所以這個點確實在拋物線上。它到焦點 $(1,4)$ 的距離是 $4$，到準線 $y = 0$ 的距離同樣是 $4$。距離相等，同時確認了焦點與準線。