一個斜圓柱的特徵截面是邊長 2 公分、夾角 60 度的菱形。求它的體積。

Step-by-step solution

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   記住「斜」並不改變體積公式。 由卡瓦列里原理，對任何圓柱（正的或斜的）都有

   $V = (\text{底面積}) \times (\text{高})$

   其中高是垂直於兩底量的，不是沿著傾斜的軸量的。

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   弄清楚特徵截面是什麼。 它是通過軸且垂直於兩底的平面所切出的截面，面積為

   $A_{\text{char}} = (\text{底面直徑}) \times (\text{高}) = 2r \cdot h$

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   算菱形的面積。 邊長 $a$、夾角 $\varphi$ 的菱形，

   $A_{\text{rhombus}} = a^2 \sin\varphi = 2^2 \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\ \text{cm}^2$

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   把兩者連起來。 令 $2rh = 2\sqrt{3}$，得

   $rh = \sqrt{3}$

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   用菱形的條件把 $r$ 與 $h$ 分別定出來。 在軸截面中，兩組邊長分別是底面直徑 $2r$ 與母線長 $L$。菱形四邊相等，所以

   $2r = L = a = 2 \implies r = 1,\qquad L = 2$

   於是垂直高為 $h = L\sin\varphi = 2\sin 60^\circ = \sqrt{3}$。

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   代入體積公式。

   $V = \pi r^2 h = \pi (1)^2 \sqrt{3} = \sqrt{3}\,\pi \approx 5.44\ \text{cm}^3$

   順手做個一致性檢查：$2rh = 2(1)(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$，與第 3 步算出的菱形面積吻合。